Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:...

Bài 51.Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số (y = 4 – {x^2},y =  – x + 2;)
b) Các đường cong có phương trình (x = 4 – 4{y^2}) và (x = 1 – {y^4}) trong miền (xge0).

Giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

(4 – {x^2} = – x + 2 Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = 2 hfill cr} ight.)

Do đó 

(eqalign{
& S = intlimits_{ – 1}^2 {left| {4 – {x^2} – left( { – x + 2} ight)} ight|} dx = intlimits_{ – 1}^2 {left| { – {x^2} + x + 2} ight|} dx cr
& ,,, = intlimits_{ – 1}^2 {left( { – {x^2} + x + 2} ight)} dx = left. {left( { – {{{x^3}} over 3} + {{{x^2}} over 2} + 2x} ight)} ight|_{ – 1}^2 = {9 over 2} cr} )

b) Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là

(4 – 4{y^2} = 1 – {y^4} Leftrightarrow {y^4} – 4{y^2} + 3 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
{y^2} = 1 hfill cr
{y^2} = 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
y = pm 1 hfill cr
y = pm sqrt 3; ( ext{ loại vì } x<0)hfill cr} ight.)

Diện tích giới hạn hai đồ thị ở phần (x ge 0) là:

(eqalign{
& S = intlimits_{ – 1}^1 {left[ {4 – 4{y^2} – left( {1 – {y^4}} ight)} ight]} dy cr
& ,,, = intlimits_{ – 1}^1 {left( {{y^4} – 4{y^2} + 3} ight)} dy cr
& ,, = left. {left( {{{{y^5}} over 5} – {4 over 3}{y^3} + 3y} ight)} ight|_{ – 1}^1 = 2.{{28} over {15}} = {{56} over {15}} cr} )