Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:...

Bài 52. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Parabol (y = {x^2} – 2x + 2,) tiếp tuyến của nó tại điểm (M(3;5)) và trục tung;
b) Parabol (y =  – {x^2} + 4x – 3) và các tiếp tuyến của nó tại các điểm (A(0;-3)) và (B(3;0))

Giải

a)

Ta có (y’ = 2x – 2 Rightarrow y’left( 3 ight) = 4.)
Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3;5) là:
(y – 5 = 4left( {x – 3} ight) Leftrightarrow y = 4x – 7)
Gọi S là diện tích cần tìm, ta có :

(eqalign{
& S = intlimits_0^3 {left( {{x^2} – 2x + 2 – 4x + 7} ight)} dx cr
& ,,, = intlimits_0^3 {left( {{x^2} – 6x + 9} ight)} dx = intlimits_0^3 {{{left( {x – 3} ight)}^2}dx} cr
& ,,, = left. {{1 over 3}{{left( {x – 3} ight)}^3}} ight|_0^3 = 9. cr} )

b)

Ta có (y’ =  – 2x + 4 Rightarrow y’left( 0 ight) = 4;y’left( 3 ight) =  – 2)
Phương trình tiếp tuyến tại (A(0;3)) là :
(y + 3 = 4left( {x – 0} ight) Leftrightarrow y = 4x – 3)
Phương trình tiếp tuyến tại (B(3;0)) là :
(y =  – 2left( {x – 3} ight) Leftrightarrow y =  – 2x + 6)
Giao điểm của hai tiếp tuyến là (Cleft( {{3 over 2};3} ight).) kí hiệu ({A_1}) và ({A_2}) là tam giác cong (ACD) Và (BCD). Ta có :

(Sleft( {{A_1}} ight) = intlimits_0^{{3 over 2}} {left( {4x – 3 + {x^2} – 4x + 3} ight)} dx = intlimits_0^{{3 over 2}} {{x^2}dx = left. {{{{x^3}} over 3}} ight|_0^{{3 over 2}}}  = {9 over 8})

(Sleft( {{A_2}} ight) = intlimits_{{3 over 2}}^3 {left( { – 2x + 6 + {x^2} – 4x + 3} ight)} dx = intlimits_{{3 over 2}}^3 {{{left( {x – 3} ight)}^2}dx = } left. {{1 over 3}{{left( {x – 3} ight)}^3}} ight|_{{3 over 2}}^3 = {9 over 8})

Vậy (S = Sleft( {{A_1}} ight) + Sleft( {{A_2}} ight) = {9 over 8} + {9 over 8} = {9 over 4})