Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính các tích phân sau:...

Bài 50. Tính các tích phân sau: 

(a),intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}sin 2xdx;} )           (b),intlimits_1^2 {xleft( {2{x^2} + 1} ight)} dx;)

(c),intlimits_2^3 {left( {x – 1} ight)} {e^{{x^2} – 2x}}dx.)

Giải

a) Đặt

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = sin 2xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = – {1 over 2}cos 2x hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}sin 2xdx}  = left. { – {1 over 2}{x^2}cos 2x} ight|_0^{{pi  over 2}} + intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}cos 2xdx} )
( = {{{pi ^2}} over 8} + intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos 2xdx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight)} )
Đặt

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = cos 2xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {1 over 2}sin 2x hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos 2xdx, = left. {{1 over 2}xsin 2x} ight|_0^{{pi  over 2}}}  – {1 over 2}intlimits_0^{{pi  over 2}} {sin 2xdx}  = left. {{1 over 4}cos 2x} ight|_0^{{pi  over 2}} =  – {1 over 2},,,,,,,,left( 2 ight))
Thay (2) vào (1) ta được: (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}sin 2xdx = {{{pi ^2}} over 8}}  – {1 over 2}.)

b) Đặt (u = 2{x^2} + 1 Rightarrow du = 4xdx Rightarrow xdx = {{du} over 4})

(intlimits_1^2 {xleft( {2{x^2} + 1} ight)dx = {1 over 4}} intlimits_3^9 {udu}  = left. {{1 over 8}{u^2}} ight|_3^9 = 9)

c) Đặt (u = {x^2} – 2x Rightarrow du = 2left( {x – 1} ight)dx Rightarrow left( {x – 1} ight)dx = {{du} over 2})

(intlimits_2^3 {left( {x – 1} ight)} {e^{{x^2} – 2x}}dx = {1 over 2}intlimits_0^3 {{e^u}du = } left. {{1 over 2}{e^u}} ight|_0^3 = {1 over 2}left( {{e^3} – 1} ight).)