Bài 5 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Hãy tính...

Bài 5

Cho (z =  – {1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i.)

Hãy tính ({1 over z}); (overline z ); ({z^2}); ({left( {overline z } ight)^3}); (1 + z + {z^2}).

Giải

Ta có (left| z ight| = sqrt {{{left( { – {1 over 2}} ight)}^2} + {{left( {{{sqrt 3 } over 2}} ight)}^2}}  = 1)

Nên ({1 over z} = {{overline z } over {{{left| z ight|}^2}}} = overline z  =  – {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i)

({z^2} = {left( { – {1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i} ight)^2} = {1 over 4} – {{sqrt 3 } over 2}i – {3 over 4} =  – {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i)

({left( {overline z } ight)^3} = overline z .{left( {overline z } ight)^2} = left( { – {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i} ight).{left( {{1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i} ight)^2})

          ( = left( { – {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i} ight).left( { – {1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i} ight) = {left( { – {1 over 2}} ight)^2} – {left( {{{sqrt 3 } over 2}i} ight)^2} = {1 over 4} + {3 over 4} = 1)

(1 + z + {z^2} = 1 + left( { – {1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i} ight) + left( { – {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i} ight) = 0)