Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính các tích phân sau :...

Bài 25. Tính các tích phân sau :

a) (intlimits_0^{{pi  over 4}} {xcos 2xdx;} )         b) (intlimits_0^1 {{{ln left( {2 – x} ight)} over {2 – x}}} dx;)       

c) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}cos xdx;} )

(d),intlimits_0^1 {{x^2}sqrt {{x^3} + 1} dx;} )        (e),intlimits_1^e {{x^2}ln xdx.} )   

Giải

a) Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = cos 2xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {1 over 2}sin 2x hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_0^{{pi  over 4}} {xcos 2xdx = left. {{1 over 2}xsin 2x} ight|_0^{{pi  over 4}}}  – {1 over 2}intlimits_0^{{pi  over 4}} {sin 2xdx} ) 

( = {pi  over 8} + left. {{1 over 4}cos 2x} ight|_0^{{pi  over 4}} = {pi  over 8} + {1 over 4}left( { – 1} ight) = {pi  over 8} – {1 over 4}.)                                 

b) Đặt (u = ln left( {2 – x} ight) Rightarrow du = {{ – 1} over {2 – x}}dx)

(intlimits_0^1 {{{ln left( {2 – x} ight)} over {2 – x}}} dx =  – intlimits_{ln 2}^0 {udu}  = intlimits_0^{ln 2} {udu}  = left. {{{{u^2}} over 2}} ight|_0^{ln 2} = {1 over 2}{left( {ln 2} ight)^2})

c) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Do đó (I = intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}cos xdx = {x^2}} left. {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} ight|_0^{{pi  over 2}} – 2intlimits_0^{{pi  over 2}} {xsin xdx = {{{pi ^2}} over 4}}  – 2{I_1})

Với ({I_1} = intlimits_0^{{pi  over 2}} {xsin xdx} )

Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = sin { m{x}}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = – cos x hfill cr} ight.)

Do đó ({I_1} =  – xleft. {cos x} ight|_0^{{pi  over 2}} + intlimits_0^{{pi  over 2}} {cos xdx = left. {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} ight|_0^{{pi  over 2}}}  = 1)

Vậy (I = {{{pi ^2}} over 4} – 2)

d) Đặt (u = sqrt {{x^3} + 1}  Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx Rightarrow {x^2}dx = {2 over 3}udu)

(intlimits_0^1 {{x^2}sqrt {{x^3} + 1} dx}  = {2 over 3}intlimits_1^{sqrt 2 } {{u^2}du = left. {{{2{u^3}} over 9}} ight|} _1^{sqrt 2 } = {2 over 9}left( {2sqrt 2  – 1} ight))

e) Đặt 

(left{ matrix{
u = ln x hfill cr
dv = {x^2}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {{dx} over x} hfill cr
v = {{{x^3}} over 3} hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_1^e {{x^2}ln xdx = left. {{{{x^3}} over 3}ln x} ight|} _1^e – {1 over 3}intlimits_1^e {{x^2}dx = {{{e^3}} over 3} – left. {{1 over 9}{x^3}} ight|} _1^e = {{2{e^3} + 1} over 9})