Bài 9 Trang 146 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {x^2}cos 2x;)             (b),fleft( x ight) = sqrt x ln x;)                                                       

c) (fleft( x ight) = {sin ^4}xcos x;)            d) (fleft( x ight) = xcos left( {{x^2}} ight);)

Giải

a) Đặt

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = cos 2xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {1 over 2}sin 2x hfill cr} ight.) 

Do đó (int {{x^2}cos 2xdx = {1 over 2}{x^2}sin 2x}  – int {xsin 2xdx,,,left( 1 ight)} ) 

Tính (int {xsin 2xdx} ) 

Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = sin 2xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = – {1 over 2}cos 2x hfill cr} ight.)

 ( Rightarrow int {xsin 2xdx =  – {1 over 2}xcos 2x + {1 over 2}int {cos 2xdx =  – {1 over 2}xcos 2x – {1 over 4}sin 2x + C} } )

Thay vào (1) ta được (int {{x^2}cos 2xdx = {1 over 2}{x^2}sin 2x + {1 over 2}xcos 2x + {1 over 4}sin 2x + C} ) 

b) Đặt 

(left{ matrix{
u = ln x hfill cr
dv = sqrt x dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {{dx} over x} hfill cr
v = {2 over 3}{x^{{3 over 2}}} hfill cr} ight.)

( Rightarrow int {sqrt x } ln xdx = {2 over 3}{x^{{3 over 2}}}ln x – {2 over 3}int {{x^{{1 over 2}}}dx} ) 

( = {2 over 3}{x^{{3 over 2}}}ln x – {2 over 3}.{2 over 3}{x^{{3 over 2}}} + C = {2 over 3}sqrt {{x^3}} ln x – {4 over 9}sqrt {{x^3}}  + C)                         

c) Đặt (u = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} Rightarrow du = cos xdx)

( Rightarrow int {{{sin }^4}xcos xdx = } int {{u^4}du = {{{u^5}} over 5} + C = {1 over 5}{{sin }^5}x}  + C.) 

d) Đặt (u = {x^2} Rightarrow du = 2xdx Rightarrow xdx = {1 over 2}du)

( Rightarrow int {xcos left( {{x^2}} ight)dx = {1 over 2}int {cos udu = {1 over 2}sin u + C = {1 over 2}{mathop{ m s} olimits} { m{in}}{{ m{x}}^2} + C.} } )