Bài 34 Trang 179 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:...

Bài 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị các hàm số (y = x, y = 1) và (y = {{{x^2}} over 4}) trong miền (x ge 0,y le 1.)

b) Đồ thị hai hàm số (y = {x^4} – 4{x^2} + 4,y = {x^2}), trục tung và đường thẳng (x = 1)

c) Đồ thị các hàm số (y = {x^2},y = 4x – 4) và (y = -4x – 4).

Giải

a)

Diện tích hình thang (OABC) là:
({S_1} = (2 + 1){1 over 2} = {3 over 2})
Diện tích tam giác cong (OBC) là hình phẳng giới hạn bởi: (y = 0,x = 2,y = {{{x^2}} over 4}) là:

({S_2} = intlimits_0^2 {{{{x^2}} over 4}} dx = left. {{{{x^3}} over {12}}} ight|_0^2 = {2 over 3})

Diện tích cần tìm là (S = {S_1} – {S_2} = {3 over 2} – {2 over 3} = {5 over 6})
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

({x^4} – 4{x^2} + 4 = {x^2} Leftrightarrow left[ matrix{
{x^2} = 1 hfill cr
{x^2} = 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = pm 1 hfill cr
x = pm 2 hfill cr} ight.)

Ta có:

(eqalign{
& S = intlimits_0^1 {left| {{x^4} – 4{x^2} + 4 – {x^2}} ight|} dx = intlimits_0^1 {left| {{x^4} – 5{x^2} + 4} ight|} dx cr
& = intlimits_0^1 {({x^4} – 5{x^2}} + 4)dx = left. {left( {{{{x^5}} over 5} – {{5{x^3}} over 3} + 4x} ight)} ight|_0^1 = {{38} over {15}} cr} )

c)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (y = {x^2}) và đường thẳng (y = 4x – 4) là:

(eqalign{
& {x^2} = 4x – 4 Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 = 0 cr
& Leftrightarrow {(x – 2)^2} = 0 Leftrightarrow x = 2. cr} )

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (y = {x^2}) và đường thẳng
(y = -4x – 4) là:

(eqalign{
& {x^2} = – 4x – 4 Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 cr
& Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 Leftrightarrow x = – 2. cr} )

(eqalign{
& S = intlimits_{ – 2}^0 {({x^2} + 4x + 4)} dx + intlimits_0^2 {({x^2} – 4x + 4)} dx cr
& = left. {left( {{{{x^3}} over 3} + 2{x^2} + 4x} ight)} ight|_{ – 2}^0 + left. {left( {{{{x^3}} over 3} – 2{x^2} + 4x} ight)} ight|_0^2 = {8 over 3} + {8 over 3} = {{16} over 3} cr} )