Bài 27 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:...

 Bài 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số (y = {cos ^2}x,) trục hoành, trục tung và đường thẳng (x = pi ;)
b) Đồ thị hai hàm số (y = sqrt x ) và (y = oot 3 of x ;)
c) Đồ thị hàm số (y = 2{x^2}) và (y = {x^4} – 2{x^2}) trong miền (x ge 0.)

Giải

a) (S = intlimits_0^pi  {{{cos }^2}xdx = {1 over 2}} intlimits_0^pi  {left( {1 + cos 2x} ight)} dx = left. {{1 over 2}left( {x + {1 over 2}sin 2x} ight)} ight|_0^pi  = {pi  over 2})
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là (sqrt x  = oot 3 of x  Leftrightarrow x = 0;x = 1)
Trên đoạn (left[ {0;1} ight]) thì ( oot 3 of x  ge sqrt x ) nên:

(S = intlimits_0^1 {left( { oot 3 of x  – sqrt x } ight)} dx = intlimits_0^1 {left( {{x^{{1 over 3}}} – {x^{{1 over 2}}}} ight)} dx = left. {left( {{3 over 4}{x^{{4 over 3}}} – {2 over 3}{x^{{3 over 2}}}} ight)} ight|_0^1 = {3 over 4} – {2 over 3} = {1 over {12}})

c)Trong miền (x ge 0) hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:

(left{ matrix{
x ge 0 hfill cr
{x^4} – 2{x^2} = 2{x^2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 0 hfill cr
{x^2}left( {{x^2} – 4} ight) = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = 2 hfill cr} ight.)

Ta có: (S = intlimits_0^2 {left| {{x^4} – 2{x^2} – 2{x^2}} ight|} dx = intlimits_0^2 {left| {{x^2}left( {{x^2} – 4} ight)} ight|} dx = intlimits_0^2 {left( {4{x^2} – {x^4}} ight)} dx)

( = left. {left( {4{{{x^3}} over 3} – {{{x^5}} over 5}} ight)} ight|_0^2 = {{64} over {15}})