Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Bài 13.

a) Chứng minh rằng nếu (fleft( x ight) ge 0) trên (left[ {a;b} ight]) thì (intlimits_a^b {fleft( x ight)dx ge 0.} ) 

b) Chứng minh rằng nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) trên (left[ {a;b} ight]) thì (intlimits_a^b {fleft( x ight)dx}  ge intlimits_a^b {gleft( x ight)dx} .) 

Giải

a) Ta có (intlimits_a^b {fleft( x ight)dx} ) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x ight)), trục hoành và hai đường thẳng (x = a,x = b,) do đó (intlimits_a^b {fleft( x ight)dx ge 0.} )

b)  Đặt (hleft( x ight) = fleft( x ight) – gleft( x ight) ge 0) với mọi (x in left[ {a;b} ight].)

Theo a) ta có: (intlimits_a^b {left[ {fleft( x ight) – gleft( x ight)} ight]}  ge 0 Rightarrow intlimits_a^b {fleft( x ight)} dx – intlimits_a^b {gleft( x ight)dx}  ge 0 Rightarrow intlimits_a^b {fleft( x ight)} dx ge intlimits_a^b {gleft( x ight)} dx.)