Câu 4.52 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao

Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho ({ m{cos}}a.c{ m{os}}b.c{ m{os}}c e 0). Tìm phần ảo của số phức.

(left( {1 + i an a} ight)left( {1 + i an b} ight)left( {1 + i an c} ight))

Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì:

({ m{tana}} + an b + an c = t{ m{ana}}. an b. an c)

Khi và chỉ khi (a + b + c = kpi left( {k in R} ight))

Giải

Phần ảo của số phức (left( {1 + i{mathop{ m tana} olimits} } ight)left( {1 + i{mathop{ m tanb} olimits} } ight)left( {1 + i{mathop{ m tanc} olimits} } ight)) bằng

 ( an a + an b + an c - an a an b an c)

Vậy ( an a + an b + an c = an a an b an c) khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của (pi )

Mặt khác ,  (1 + i an a = {1 over {{ m{cos}}a}}left( {{ m{cos}}a + isin a} ight)) có acgumen là (a + lpi ) (l là số nguyên bất kì); tương tự cho (1 + i an b;1 + i an c). Vậy

(left( {1 + i an a} ight)left( {1 + i an b} ight)left( {1 + i an c} ight)) có acgumen là (a + b + c + mpi ,m in Z)

Kết luận:  ( an a + an b + an c = an a an b an c )

(Leftrightarrow a + b + c = kpi left( {k in Z} ight))