Câu 4.47 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

(1 + 2i),         (1 + sqrt 3  + i),            (1 + sqrt 3  - i),        (1 - 2i)

Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào ?

Giải

Vì mỗi cặp số (1 + 2i), (1 - 2i) và (1 + sqrt 3  + i), (1 + sqrt 3  - i) là cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D, hai điểm B, C đối xứng qua (Ox); phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân , do đó nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng (Ox); J biểu diễn số thực (x) sao cho (left| {overrightarrow {JA} } ight| = overrightarrow {left| {JB} ight|}  Leftrightarrow left| {1 - x + 2i} ight| = left| {1 - x + sqrt 3  + i} ight|). Từ đó suy ra  (x) = 1.

(Cách khác : (overrightarrow {AB} ) biểu diễn số phức ( sqrt 3  - i), (overrightarrow {DB} ) biểu diễn số phức (sqrt 3  + 3i) mà ({{sqrt 3  + 3i} over {sqrt 3  - i}} = sqrt 3 i) nên (overrightarrow {AB} overrightarrow {.DB}  = 0). Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua (Ox)), (overrightarrow {DC} .overrightarrow {AC}  = 0). Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C, D . ( h.4.13)

      

Sachbaitap.com