Câu 4.54 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Cho các số thực a, b sao cho

a) Cho các số thực a, b sao cho ({{sin a} over 2} e 0)

Với mỗi số nguyên (n ge 1), xét các tổng

(S = c{ m{os}}b + c{ m{os}}left( {a + b} ight) + c{ m{os}}left( {2a + b} ight) + ... )

(+ c{ m{os}}left( {na + b} ight))

(S = sin b + sin left( {a + b} ight) + sin left( {2a + b} ight) + ... )

(+ sin left( {na + b} ight))

Tính (S + iT), từ đó suy ra S và T

b) Chứng minh rằng với mọi số thực (a e kpi left( {k in Z} ight)), với mỗi số nguyên (n ge 1)  ta có:

(sin a + sin 3a + ... + sin left( {2n - 1} ight)a = {{{{sin }^2}na} over {sin a}})

({ m{cos}}a + c{ m{os}}3a + ... + c{ m{os}}left( {2n - 1} ight)a = {{sin 2na} over {2sin a}})

Giải

a) Đặt (alpha  = c{ m{os}}a + isin a,eta  = cos b + isin b) thì

(eqalign{& S = iT = left[ {cos b + isin b} ight] cr&+ left[ {cos left( {a + b} ight) + isin left( {a + b} ight)} ight]  cr &  + left[ {cos left( {2a + b} ight) + isin left( {2a + b} ight)} ight] + ... cr&+ left[ {cos left( {na + b} ight) + isin left( {na + b} ight)} ight] cr} )

( = eta  + eta alpha  + eta {alpha ^2} + ... + eta {alpha ^n})

( = eta left( {1alpha  + {alpha ^2} + ... + {alpha ^n}} ight))

( = eta {{1 + {alpha ^{n + 1}}} over {1 - alpha }}) (để ý rằng (alpha  e 1) do (sin {a over 2} e 0))

(eqalign{&  = eta {{1 - cos left( {n + 1} ight)a - isin left( {n + 1} ight)a} over {1 - cos a - isin a}}  cr &  = eta {{sin {{n + 1} over 2}a} over {sin {a over 2}}}left[ {sin {{n + 1} over 2}a - icos {{n + 1} over 2}a} ight].cr&;;;;;left[ {sin {a over 2} + ic{ m{os}}{a over 2}} ight]  cr &  = eta {{sin {{n + 1} over 2}a} over {sin {a over 2}}}left( {cos {{na} over 2} + isin {{na} over 2}} ight)  cr &  = {{sin {{n + 1} over 2}a} over {sin {a over 2}}}left( {cos {{na} over 2} + isin {{na} over 2}} ight)left( {cos b + isin b} ight)  cr &  = {{sin {{n + 1} over 2}a} over {sin {a over 2}}}left[ {cos left( {{{na} over 2} + b} ight) + isin left( {{{na} over 2} + b} ight)} ight] cr} )

Từ đó suy ra: (S = {{sin {{n + 1} over 2}a} over {sin {a over 2}}}cos left( {{{na} over 2} + b} ight))  

                      (T = {{sin {{n + 1} over 2}a} over {sin {a over 2}}}sin left( {{{na} over 2} + b} ight))

Chú ý: Trong phần lượng giác ở lớp 11 đã có bài tập tương tự nhưng được giải bằng cách khác.

b) Giải bằng phương pháp tương tự như câu a).

Sachbaitap.com