Câu 3.33 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét dãy số

Xét dãy số (({u_n})) xác định bởi ({u_1} = a) và ({u_{n + 1}} = 5 - {u_n}) với mọi (n ge 1,) trong đó a là số thực.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số (({u_n})) là một cấp số cộng.

Giải

Giả sử (({u_n})) là một cấp số cộng. Khi đó, tồn tại một hằng số d sao cho

(forall n ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = d.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1))

Từ hệ thức xác định dãy số (({u_n})) suy ra

(forall n ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 2{u_n}.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2))

Từ (1) và (2) ta được ({u_n} = {{5 - d} over 2}) với mọi (n ge 1.) Vì thế, (({u_n})) là một dãy số không đổi. Suy ra, phải có ({u_2} = a) hay (5 - a = a,) dẫn tới (a = {5 over 2}.)

Ngược lại, với (a = {5 over 2}) dễ dàng chứng minh được (u_n = {5 over 2}) với mọi (nge 1). Vì thế dãy số ((u_n)) là một cấp số cộng với công sai (d=0).

Tóm lại, có duy nhất giá trị a cần tìm là (a = {5 over 2}).

zaidap.com