Câu 3.24 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({v_n})) xác định bởi

({v_1} = 1) và ({v_{n + 1}} =  - {3 over 2}v_n^2 + {5 over 2}{v_n} + 1) với mọi (n ge 1.)

a) Hãy tính ({v_2},{v_3}) và ({v_4}.)

b) Chứng minh rằng ({v_n} = {v_{n + 3}})  với mọi (n ge 1.)

Giải

a) Ta có 

(eqalign{
& {v_2} = - {3 over 2}v_1^2 + {5 over 2}{v_1} + 1 = - {3 over 2} + {5 over 2} + 1 = 2 cr
& {v_3} = - {3 over 2}v_2^2 + {5 over 2}{v_2} + 1cr&;;;; = - {3 over 2} imes {2^2} + {5 over 2} imes 2 + 1 = 0 cr
& {v_4} = - {3 over 2}v_3^2 + {5 over 2}{v_3} + 1cr&;;;;= - {3 over 2} imes {0^2} + {5 over 2} imes 0 + 1 = 1 cr} )

b) Ta sẽ chứng minh ({v_n} = {v_{n + 3}}) với mọi (n ge 1,) bằng phương pháp quy nạp.

Từ giả thiết của bài ra và kết quả cuẩ phần a) ta có ({v_1} = {v_4}.) Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi (n = 1.)

Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi (n = k,k in N^*,) ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi (n = k + 1.)

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (({v_n})) và giả thiết quy nạp ta có

({v_{k + 4}} =  - {3 over 2}v_{k + 3}^2 + {5 over 2}{v_{k + 3}} + 1 )

         (=  - {3 over 2}v_k^2 + {5 over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}})

Từ các chứng minh trên suy ra ta có ({v_n} = {v_{n + 3}}) với mọi (n ge 1.)

 zaidap.com