Câu 18 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:

Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:

                (left{ matrix{left| z ight| = left| { m{w}} ight| = 1 hfill cr z + { m{w}} = li hfill cr}  ight.)

Trong đó l là số thực cho trước.

Giải

Ta xét các trường hợp sau:

1) (l = 0.) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho (left| z ight| = 1), còn ({ m{w}} =  - z)

2) (l e 0.) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.

Do (l e 0) nên P khác O. Điều kiện (z + { m{w}} = li) tương đương với điều kiện (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  = overrightarrow {OP} ). Nhưng vì (left| z ight| = left| { m{w}} ight| = 1) nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:

Khi (0 e left| l ight| < 2) thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số ( pm {1 over 2}sqrt {4 - {l^2}}  + {l over 2}i)

Khi (l = 2) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.

Khi (l =  - 2) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.

Khi (left| l ight| > 2) thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Sachbaitap.com