Câu 2.116 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các hệ phương trình sau

a )(left{ matrix{{log ^2}x = {log ^2}y + {log ^2}xy hfill cr{log ^2}left( {x - y} ight) + log xlog y = 0 hfill cr}  ight.)

b) (left{ matrix{{3^{log x}} = {4^{log y}} hfill cr{left( {4x} ight)^{log 4}} = {left( {3y} ight)^{log 3}} hfill cr}  ight.)

Giải

a) ĐKXĐ: (x > 0,y > 0,x > y)

Biến đổi phương trình đầu như sau:

(eqalign{& {log ^2}x = {log ^2}y + {left( {log x + log y} ight)^2} cr&Leftrightarrow 2{log ^2}y + 2log xlog y = 0  cr&  Leftrightarrow log yleft( {log x + log y} ight) = 0 cr&Leftrightarrow left[ matrix{log y = 0 hfill crlog x + log y = 0 hfill cr}  ight.left[ matrix{ y = 1 hfill cr y = {1 over x} hfill cr}  ight. cr} )

- Với (y = 1), thế vào phương trình thứ hai ta được

({log ^2}left( {x - 1} ight) + log xlog 1 = 0 )

(Leftrightarrow x - 1 = 1 Leftrightarrow x = 2)

- Với (y = {1 over x}),  thế vào phương trình thứ hai ta được

 (eqalign{& {log ^2}left( {x - {1 over x}} ight) + log xlog {1 over x} = 0 cr&Leftrightarrow{log ^2}{{{x^2} - 1} over x} - {log ^2}x = 0  cr &  Leftrightarrow left[ matrix{lo{g^2}{{{x^2} - 1} over x} = log x hfill cr lo{g^2}{{{x^2} - 1} over x} =  - log x hfill cr}  ight. cr&Leftrightarrow left[ matrix{{x^2} - 1 = {x^2}left( {loại} ight) hfill cr {{{x^2} - 1} over x} = {1 over x} hfill cr}  ight. Leftrightarrow {x^2} = 2 cr} )

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được (x = sqrt 2 ;y = {1 over {sqrt 2 }})

Vậy (left( {x;y} ight)) là (left( {2;1} ight),left( {sqrt 2 ;{1 over {sqrt 2 }}} ight))

b) 

Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được

(left{ matrix{log xlog 3 = log ylog 4 hfill crlog 4left( {log 4 + log x} ight) = log 3left( {log 3 + log y} ight) hfill cr}  ight.)

Rồi đặt (u = log x,v = log y)

Tìm u, v giải ra x, y ta được:

(left( {x;y} ight) = left( {{1 over 4};{1 over 3}} ight))

Sachbaitap.com