Câu 2.106 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

Giải các phương trình sau:

a) ({2^{{{cos }^2}x}} + {4.2^{{{sin }^2}x}} = 6)

b) ({3^{2sin x + 2cos x + 1}} - {left( {{1 over {15}}} ight)^{ - cos x - sin x{ m{ - lo}}{{ m{g}}_{15}}8}} )

(+ {5^{^{2sin x + 2cos x + 1}}} = 0.)

Giải

a) Đặt (t = {2^{{ m{co}}{{ m{s}}^2}x}}left( {1 le t le 2} ight)), ta được phương trình ({t^2} - 6t + 8 = 0).

Giải ra ta được (t = 4) (loại) và (t = 2)  

Với (t=2) ta có:

({2^{{{cos }^2}x}} = 2 Leftrightarrow {cos ^2}x = 1 )

(Leftrightarrow sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi (k in Z))

b) (x = {{3pi } over 4} + kpi ;x = pi  + k2pi left( {k in Z} ight))

Biến đổi phương trình về dạng

                                ({3.3^{2left( {sin x + cos x} ight)}} - {8.15^{cos x + sin x}} + {5.5^{2left( {sin x + cos x} ight)}} = 0.)

Chia cả hai vế của phương trình cho ({3^{2left( {sin x + cos x} ight)}}), rồi đặt (t = {left( {{5 over 3}} ight)^{{ m{cos}}x + {mathop{ m s} olimits} { m{in}}x}}) với (left( {t > 0} ight)) dẫn đến phương trình:

                                (5{t^2} - 8t + 3 = 0)

Giải ra ta được (t = 1)  và (t = {3 over 5})

- Với (t = 1) ta có ({left( {{5 over 3}} ight)^{{ m{cos}}x + {mathop{ m s} olimits} { m{in}}x}} = 1), dẫn đến ({ m{cos}}x + sin x = 0) hay ({ m{cos}}left( {x - {pi  over 4}} ight) = 0)

Do vậy (x = {{3pi } over 4} + kpi left( {k in Z} ight))

- Với (t = {3 over 5}) ta có ({left( {{5 over 3}} ight)^{{ m{cos}}x + {mathop{ m s} olimits} { m{in}}x}} = {3 over 5}), dẫn đến ({ m{cos}}x + sin x =  - 1) hay ({ m{cos}}left( {x - {pi  over 4}} ight) =  - {1 over {sqrt 2 }})

Do vậy (x = pi  + k2pi ;x = {-pi  over 2} + k2pi left( {k in Z} ight))

Sachbaitap.com