Câu 2.104 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

Giải các phương trình sau:

a) ({x^{{{log }_2}9}} = {x^2}{.3^{{{log }_2}x}} - {x^{{{log }_2}3}};)

b) ({3^x} - 4 = {5^{{x over 2}}}.)

Giải

a) Điều kiện x > 0. Áp dụng công thức ({a^{{{log }_c}b}} = {b^{{{log }_c}a}}) , ta có

({9^{{{log }_2}x}} = {x^2}{.3^{{{log }_2}x}} - {3^{{{log }_2}x}};)        (1)

Chia hai vế của (1) cho ({3^{{{log }_2}x}}) ta có

Đặt ({log _2}x = t), ta có (x = {2^t}) dẫn đến phương trình

({3^t} = {4^t} - 1) , tức là ({left( {{3 over 4}} ight)^t} + {left( {{1 over 4}} ight)^t} = 1)       (2)

Vế trái của (2) là hàm nghịch biến (vì các cơ số ({3 over 4} < 1;{1 over 4} < 1)), còn về vế phải của (2) là hằng số, nên phương trình có nghiệm duy nhất (t = 1) . Suy ra (x = 2)

b) Chia cả hai vế của phương trình cho ({3^x}left( { = {{left( {sqrt 9 } ight)}^x}} ight)) , ta có

(4{left( {sqrt {{1 over 9}} } ight)^x} + {left( {sqrt {{5 over 9}} } ight)^x} = 1)  (1)

Vế trái (1) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Lại có (x=2) là nghiệm của (1) do đó (x=2) là nghiệm duy nhất của (1)

Sachbaitap.com