Câu 2.111 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải và biện luận phương trình sau:

Giải và biện luận phương trình sau:

a) ({log _3}x - {log _3}left( {x - 2} ight) = {log _{sqrt 3 }}m;)                                               

b) ({4^{sin x}} + {2^{1 + sin x}} = m)      

Giải

a) Điều kiện (x > 2,x > 0). Đưa về tìm nghiệm lớn hơn 2 của phương trình (x = left( {x - 2} ight){m^2}) hay  (left( {1 - {m^2}} ight)x =  - 2{m^2})   

Vậy

+) (m > 1)  thì phương trình có nghiệm duy nhất (x = {{2{m^2}} over {{m^2} - 1}})

+) (m le 1)  thì phương trình vô nghiệm.                  

b) Đặt ({2^{sin x}} = y), vì ( - 1 le sin x le 1) nên  ({1 over 2} le y le 2)

Ta có phương trình: ({y^2} + 2y - m = 0)   (1)

Tính được: (Delta ' = 1 + m)

- Với (m <  - 1)  thì (1) vô nghiệm.

- Với (m =  - 1)  thì (1) có nghiệm kép (y =  - 1)  (loại)

- Với (m >  - 1)  thì (1) có hai nghiệm phân biệt ({y_1} =  - 1 + sqrt {m + 1} )  và ({y_2} =  - 1 - sqrt {m + 1} ) (loại)

({y_1} =  - 1 + sqrt {m + 1} ) thỏa mãn điều kiện khi

 (left{ matrix{- 1 + sqrt {m + 1}  ge {1 over 2} hfill cr- 1 + sqrt {m + 1}  le 2 hfill cr}  ight.)  tức là (left{ matrix{m ge {5 over 4} hfill cr m le 8 hfill cr}  ight.)

Khi đó

({2^{sin x}} =  - 1 + sqrt {m + 1} )

(Leftrightarrow sin x = {log _2}left( { - 1 + sqrt {m + 1} } ight) = sin varphi)

(left( { - {pi  over 2} le varphi  le {pi  over 2}} ight))

Ta có (x = varphi  + k2pi ;x = pi  - varphi  + k2pi left( {k in Z} ight))

Từ đó ta đi đến kết luận 

+) Với (m < {5 over 4}) hoặc (m > 8): Phương trình vô nghiệm.

+) Với (m = {5 over 4}): Phương trình có nghiệm (x =  - {pi  over 2} + k2pi left( {k in Z} ight))   

+) Với (m = 8): Phương trình có nghiệm (x = {pi  over 2} + k2pi left( {k in Z} ight))

+) Với ({5 over 4} < m < 8): Phương trình có nghiệm (x = varphi  + k2pi ;x = pi  - varphi  + k2pi ) với (varphi  = {log _2}left( { - 1 + sqrt {m + 1} } ight),k in Z)

Sachbaitap.com