Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
Giải bài 9 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ...
Giải bài 9 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD), đáy là hình vuông cạnh (a), cạnh bên tạo với đáy một góc (60^0). Gọi (M) là trung điểm (SC). Mặt phẳng đi qua (AM) và song song với (BD), cắt (SB) tại (E) và cắt (SD) tại (F). Tính thể tích khối chóp (S.AEMF).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua AM và song song với BD là tức giác AEMF.
Chứng minh AEMF có hai đường chéo vuông góc ( Rightarrow {S_{AEMF}} = frac{1}{2}AM.EF)
Chứng minh (SM ot left( {AEMF} ight) Rightarrow {V_{S.AEMF}} = frac{1}{3}SM.{S_{AEMF}})
Lời giải chi tiết
Gọi (H = AC cap BD).
Hình chóp (S.ABCD) là hình chóp đều nên chân (H) của đường cao (SH) chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua (AM) và song song với (BD) cắt mặt phẳng ((SDB)) theo một giao tuyến song song với (BD). Ta dựng giao tuyến (EF) như sau: Gọi (I) là giao điểm của (AM) và (SH). Qua (I) ta dựng một đường thẳng song song với (BD), đường này cắt (SB) ở (E) và cắt (SD) ở (F).
Ta có: (HA) là hình chiếu vuông góc của (SA) trên ((ABCD)) ( Rightarrow widehat {left( {SA;left( {ABCD} ight)} ight)} = widehat {left( {SA;AH} ight)} = widehat {SAH} = {60^0})
Tam giác cân (SAC) có (SA = SC) và góc (SAC = 60^0) nên nó là tam giác đều: (I) là giao điểm của các trung tuyến (AM) và (AH) nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC ( Rightarrow {{SI} over {SH}} = {2 over 3})
Do (EF // DB Rightarrow {{{ m{EF}}} over {DB}} = {{SF} over {SD}} = {{SE} over {SB}} = {{SI} over {SH}} = {2 over 3})
Vì (DB = asqrt2) ( Rightarrow { m{EF}} = {{2asqrt 2 } over 3})
Tam giác (SAC) là tam giác đều nên (AM = {{ACsqrt 3 } over 2} = {{asqrt 6 } over 2})
Ta lại có (left{ egin{array}{l}BD ot ACBD ot SHend{array} ight. Rightarrow BD ot left( {SAC} ight) Rightarrow BD ot AM Rightarrow AM ot EF)
Tứ giác (AEMF) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: ({S_{AEMF}} = {1 over 2}{ m{EF}}.AM = {1 over 2}.{{2asqrt 2 } over 3}.{{asqrt 6 } over 2} = {{{a^2}sqrt 3 } over 3})
Mặt khác, tam giác (ASC) là tam giác đều, (M) là trung điểm của (SC) nên (AM ot SC). Ta cũng có (DB ot (SAM)) ( Rightarrow DB ot SC) vì (DB // EF) nên (EF ot SC). Từ kết quả trên, suy ra (SM ot(AEMF)).
Dễ thấy (SM = {{asqrt 2 } over 2}) (do tam giác (SAC) đều). Do đó: ({V_{S.AEMF}} = {1 over 3}.{{{a^2}sqrt 3 } over 3}.{{asqrt 2 } over 2} = {{{a^3}sqrt 6 } over {18}}).
zaidap.com
