Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12
Giải bài 7 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC ...
Giải bài 7 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC
Đề bài
Cho hình chóp tam giác (S.ABC) có (AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a). Các mặt bên (SAB, SBC, SCA) tạo với đáy một góc (60^0). Tính thể tích của khối chóp đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Áp dụng công thức tính thể tích ({V_{chóp}} = frac{1}{3}Sh) trong đó (S) là diện tích đáy và (h) là chiều cao của khối chóp.
Lời giải chi tiết
Kẻ (SH ot (ABC)) và từ (H) kẻ (HI ot AB, HJ ot BC, HK ot CA).
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
(SI ot AB, SJ ot BC, SK ot AC) do đó:
(egin{array}{l}
widehat {left( {left( {SAB}
ight);left( {ABC}
ight)}
ight)} = widehat {SIH} = {60^0}
widehat {left( {left( {SBC}
ight);left( {ABC}
ight)}
ight)} = widehat {SJH} = {60^0}
widehat {left( {left( {SAC}
ight);left( {ABC}
ight)}
ight)} = widehat {SKH} = {60^0}
end{array})
Từ đây ta có: (△SIH = △SJH = △SKH) (g.g)
( Rightarrow IH = JH = KH)
( Rightarrow H) là tâm đường tròn nội tiếp (△ABC).
Tam giác (ABC) có chu vi: (2p = AB + BC + CA = 18a Rightarrow p = 9a)
Theo công thức Hê-rông, ta có: ({S_{ABC}} = sqrt {pleft( {p - AB} ight)left( {p - AC} ight)left( {p - BC} ight)})
( = sqrt {9a.4a.2a.3a} = 6{a^2}sqrt 6 )
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác (ABC):
(IH = r = {{{S_{ABC}}} over p} = {{6{a^2}sqrt 6 } over {9a}} Rightarrow IH = {{2asqrt 6 } over 3})
Xét tam giác vuông SHI có: (SH = r . tan60^0) = ({{2asqrt 6 } over 3}.sqrt 3 = 2asqrt 2 )
Vậy thể tích khối chóp: ({V_{S.ABC}} = {1 over 3}.2asqrt 2 .6{a^2}sqrt 6 = 8{a^3}sqrt 3 )
zaidap.com
