Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần ...
Giải bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần
Đề bài
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần
a) (int_1^{{e^4}} {sqrt x } ln xdx)
b) (int_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {{{xdx} over {{{sin }^2}x}}} )
c) (int_0^pi {(pi - x)sin { m{x}}dx} )
d) (int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
+) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.
+) Sử dụng công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b {uleft( x ight)dvleft( x ight)} = left. {uleft( x ight).vleft( x ight)} ight|_a^b - intlimits_a^b {vleft( x ight)duleft( x ight).} )
Lời giải chi tiết
a) Đặt (left{ egin{array}{l}u = ln xdv = sqrt x dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = frac{1}{x}dxv = frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}}end{array} ight..)
(egin{array}{l}
Rightarrow intlimits_1^{{e^4}} {sqrt x ln xdx} = left. {frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}}ln x}
ight|_1^{{e^4}} - intlimits_1^{{e^4}} {frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}}.frac{1}{x}dx}
= frac{8}{3}{e^6} - intlimits_1^{{e^4}} {frac{2}{3}{x^{frac{1}{2}}}dx} = frac{8}{3}{e^6} - left. {frac{2}{3}.frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}}}
ight|_1^{{e^4}}
= frac{8}{3}{e^6} - frac{4}{9}{e^6} + frac{4}{9}= frac{20}{9}{e^6}+ frac{4}{9}.
end{array})
b) Ta có:
(eqalign{
& int_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {{{xdx} over {{{sin }^2}x}}} = intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {xd( - cot x) = - xcot xleft| {_{{pi over 6}}^{{pi over 2}}}
ight.} + intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {cot xdx} cr
& = {{pi sqrt 3 } over 6} + intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {{{dsin x} over {{mathop{
m s}
olimits} {
m{inx}}}}} = {{pi sqrt 3 } over 6} + ln |sinx|left| {_{{pi over 6}}^{{pi over 2}}}
ight. = {{pi sqrt 3 } over 6} + ln 2 cr} )
c) Ta có:
(eqalign{
& int_0^pi {(pi - x)sin {
m{x}}dx} = intlimits_0^pi {(pi - x)d( - {mathop{
m cosx}
olimits} )} cr
& = - (pi - x)cosxleft| {_0^pi }
ight. + intlimits_0^pi {{mathop{
m cosxd}
olimits} (pi - x) = pi - s{
m{inx}}left| {_0^pi }
ight.} = pi cr} )
d) Ta có:
(eqalign{
& int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx = intlimits_{ - 1}^0 {(2x + 3)d( - {e^{ - x}}} ) cr
& = (2x + 3){e^{ - x}}left| {_0^{ - 1}}
ight. + intlimits_{ - 1}^e {{e^{ - x}}} .2dx = e - 3 + 2{e^{ - x}}left| {_0^1}
ight. = 3e - 5 cr} )
zaidap.com
