Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ...
Giải bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) (f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1) trên đoạn (left[ { - 2 ; , {5 over 2}} ight].)
b) ( f(x) = x^2lnx) trên đoạn (left[ {1; , e} ight].)
c) (f(x) = xe^{-x}) trên nửa khoảng ([0; , +∞).)
d) (f(x) = 2sinx + sin2x) trên đoạn (left[ {0; ,{{3pi } over 2}} ight].)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên đoạn (left[ a; b ight]) ta làm như sau :
+) Tìm các điểm ({{x}_{1}}; {{x}_{2}}; {{x}_{3}};......; {{x}_{n}}) thuộc đoạn (left[ a; b ight]) mà tại đó hàm số có đạo hàm (f'left( x ight)=0) hoặc không có đạo hàm.
+) Tính (fleft( {{x}_{1}} ight); fleft( {{x}_{2}} ight); fleft( {{x}_{3}} ight);........; fleft( {{x}_{n}} ight)) và (fleft( a ight); fleft( b ight).)
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên (left[ a; b ight]) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên (left[ a; b ight]).
(egin{align}& underset{xin left[ a; b ight]}{mathop{max }},fleft( x ight)=max left{ fleft( {{x}_{1}} ight); fleft( {{x}_{2}} ight);.......; fleft( {{x}_{m}} ight); fleft( a ight); fleft( b ight) ight}. & underset{xin left[ a; b ight]}{mathop{min }},fleft( x ight)=min left{ fleft( {{x}_{1}} ight); fleft( {{x}_{2}} ight);.......; fleft( {{x}_{m}} ight); fleft( a ight); fleft( b ight) ight}. end{align})
Lời giải chi tiết
a) (f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12)
(f’(x) = 0 ⇔ x =-1) hoặc (x=2)
So sánh các giá trị:
(f(-2) = -3); ( f(-1) = 8);
(f(2) = -19), (f({5 over 2}) = {{ - 33} over 2})
Suy ra:
(eqalign{
& mathop {max }limits_{x in left[ { - 2,{5 over 2}}
ight]} f(x) = f( - 1) = 8 cr
& mathop {min}limits_{x in left[ { - 2,{5 over 2}}
ight]} f(x) = f(2) = - 19 cr} )
b) (f(x) = x^2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]) nên (f(x)) đồng biến.
Do đó:
(eqalign{
& mathop {max }limits_{x in left[ {1,e}
ight]} f(x) = f(e) = {e^2} cr
& mathop {min}limits_{x in left[ {1,e}
ight]} f(x) = f(1) = 0 cr} )
c) (f(x)= xe^{-x}⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}) nên:
(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)) và (f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞))
nên: (mathop {max }limits_{x in { m{[}}0, + infty )} f(x) = f(1) = {1 over e}.)
Ngoài ra (f(x)= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ (0, +∞)) và (f(0) = 0) suy ra
(mathop {min}limits_{x in { m{[}}0, + infty )} f(x) = f(0) = 0)
d) (f(x) = 2sinx + sin2x ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x)
(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π)
( ⇔ x in left{ { - pi + k2pi ;{pi over 3} + {{k2pi } over 3}} ight})
Trong khoảng (left[ {0,{{3pi } over 2}} ight]) , phương trình (f’(x) = 0) chỉ có hai nghiệm là ({x_1} = {pi over 3};{x_2} = pi )
So sánh bốn giá trị : (f(0) = 0); (f({pi over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2};f(pi ) = 0;f({{3pi } over 2}) = - 2)
Suy ra:
(eqalign{
& mathop {max }limits_{x in left[ {0,{{3pi } over 2}}
ight]} f(x) = f({pi over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2} cr
& mathop {min}limits_{x in left[ {0,{{3pi } over 2}}
ight]} f(x) = f({{3pi } over 2}) = - 2 cr} )
zaidap.com
