Bài 17 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:...

Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) (intlimits_0^1 {sqrt {x + 1} dx;} )              b) (intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{ an x} over {{{cos }^2}x}}} dx;)                     

c) (intlimits_0^1 {{t^3}} {left( {1 + {t^4}} ight)^3}dt;)        d) (intlimits_0^1 {{{5x} over {{{left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}} dx;)               

e) (intlimits_0^{sqrt 3 } {{{4x} over {sqrt {{x^2} + 1} }}} dx;)                 f) (intlimits_0^{{pi  over 6}} {left( {1 – cos 3x} ight)} sin 3xdx.) 

Giải

a) Đặt (u = sqrt {x + 1}  Rightarrow {u^2} = x + 1 Rightarrow 2udu = dx.)   

Đổi cận 

(intlimits_0^1 {sqrt {x + 1} } dx = intlimits_1^{sqrt 2 } {u.2udu = 2intlimits_1^{sqrt 2 } {{u^2}du} }  = left. {2.{{{u^3}} over 3}} ight|_1^{sqrt 2 } = {2 over 3}left( {2sqrt 2  – 1} ight))

b) Đặt (u = an x Rightarrow du = {{dx} over {{{cos }^2}x}})

(intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{ an x} over {{{cos }^2}x}}} dx = intlimits_0^1 {udu = } left. {{{{u^2}} over 2}} ight|_0^1 = {1 over 2})

c) Đặt (u = 1 + {t^4} Rightarrow du = 4{t^3}dt Rightarrow {t^3}dt = {{du} over 4})

(intlimits_0^1 {{t^3}left( {1 + {t^4}} ight)} dt = {1 over 4}intlimits_1^2 {{u^3}} du = left. {{1 over 4}{{{u^4}} over 4}} ight|_1^2 = {1 over {16}}left( {16 – 1} ight) = {{15} over {16}})

d) Đặt (u = {x^2} + 4 Rightarrow du = 2xdx Rightarrow xdx = {1 over 2}du)

(intlimits_0^1 {{{5x} over {{{left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}} dx = {5 over 2}intlimits_4^5 {{{du} over {{u^2}}}}  = left. {{5 over 2}left( { – {1 over u}} ight)} ight|_4^5 = {1 over 8})

e) Đặt (u = sqrt {{x^2} + 1}  Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1 Rightarrow udu = xdx)

(intlimits_0^{sqrt 3 } {{{4x} over {sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = 4intlimits_1^2 {{{udu} over u}}  = left. {4u} ight|_1^2 = 4)

f) Đặt (u = 1 – cos 3x Rightarrow du = 3sin 3xdx Rightarrow sin 3xdx = {1 over 3}du)

(intlimits_0^{{pi  over 6}} {left( {1 – cos 3x} ight)} sin 3xdx = {1 over 3}intlimits_0^1 {udu = left. {{{{u^2}} over 6}} ight|} _0^1 = {1 over 6})