Bài 61 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d :

a) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d : (left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y =  - 2 + 3t hfill cr  z = 3 + t hfill cr}  ight.)

trên mỗi mặt phẳng sau : (mp(Oxy),mp(Oxz),mp(Oyz),)

(mpleft( alpha  ight):x + y + z - 7 = 0.)

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

(d:left{ matrix{  x = {7 over 2} + 3t hfill cr  y =  - 2t hfill cr  z =  - 2t hfill cr}  ight.)

Trên mặt phẳng (left( alpha  ight):x + 2y - 2z - 2 = 0.)

Giải

a) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là

(left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y =  - 2 + 3t hfill cr  z = 0. hfill cr}  ight.)

( * ) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxz) là

(left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y = 0 hfill cr  z = 3 + t. hfill cr}  ight.)

( * ) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oyz) là

(left{ matrix{  x = 0 hfill cr  y =  - 2 + 3t hfill cr  z = 3 + t. hfill cr}  ight.)

( * ) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (mpleft( alpha  ight)) là giao tuyến của mặt phẳng (left( alpha   ight)) với mặt phẳng (left( eta  ight)), trong đó (left( eta  ight)) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (left( alpha  ight)).

Vectơ chỉ phương của d là (overrightarrow {{u_d}}  = (2;3;1),) vec tơ pháp tuyến của (left( alpha  ight)) là (overrightarrow {{n_alpha }}  = (1;1;1).) Vậy vec tơ pháp tuyến của (left( eta  ight)) là :

(overrightarrow {{n_eta }}  = left[ {overrightarrow {{u_d}} ,overrightarrow {{n_alpha }} } ight] = left( {left| matrix{  3 hfill cr  1 hfill cr}  ight.left. matrix{  1 hfill cr  1 hfill cr}  ight|;left| matrix{  1 hfill cr  1 hfill cr}  ight.left. matrix{  2 hfill cr  1 hfill cr}  ight|;left| matrix{  2 hfill cr  1 hfill cr}  ight.left. matrix{  3 hfill cr  1 hfill cr}  ight|} ight) )

      (= (2; - 1; - 1).)

Điểm ({M_0}left( {1; - 2;3} ight)) thuộc d và cũng thuộc ((eta)), do đó phương trình mặt phẳng ((eta)) là:

(eqalign{
& 2left( {x - 1} ight) - 1left( {y + 2} ight) - 1left( {z - 3} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow 2x - y - z - 1 = 0 cr} )

Vậy hình chiếu của d trên ((alpha)) là giao tuyến của hai mặt phẳng ((eta)) và ((alpha)) có phương trình lần lượt là: (x+y+z-7=0) và (2x-y-z-1=0).

Suy ra phương trình tham số của d là:

(left{ matrix{
x = {8 over 3} hfill cr
y = {{13} over 3} - t hfill cr
z = t hfill cr} ight.)

b) Gọi ((eta)) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với ((alpha)) thì ((eta)) có phương trình là:

((eta ):2x + y + 2z - 7 = 0)

Khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên ((alpha)) là giao tuyến của ((alpha):x+2y-2z-2=0) và ((eta ):2x + y + 2z - 7 = 0).

Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d là:

({{x - 4} over 2} = {{y + 1} over { - 2}} = {z over { - 1}})

Sachbaitap.com