Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12
Giải bài 6 trang 26 SGK Hình học 12 . Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a. ...
Giải bài 6 trang 26 SGK Hình học 12 . Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a.
Đề bài
Cho hình chóp tam giác (S.ABC) có cạnh (AB) bằng (a). Các cạnh bên (SA, SB, SC) tạo với đáy một góc (60^0). Gọi (D) là giao điểm của (SA) với mặt phẳng qua (BC) và vuông góc với (SA).
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp (S.DBC) và (S.ABC).
b) Tính thể tích của khối chóp (S.DBC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Qua B kẻ (BD ot SA, CD ot SA), chứng minh mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA là ((BCD)).
a) Sử dụng công thức tỉ số thể tích: (frac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = frac{{SD}}{{SA}}.frac{{SB}}{{SB}}.frac{{SC}}{{SC}} = frac{{SD}}{{SA}}).
b) Tính thể tích khối chóp (S.ABC) sau đó tính thể tích khối chóp (S.DBC).
Lời giải chi tiết
a)
Vì hình chóp (S.ABC) là hình chóp đều nên chân đường cao (H) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc (SAH = 60^0). Gọi (M) là trung điểm của cạnh (BC) thì (AM) là đường cao của tam giác đều (ABC):
(AM = {{asqrt 3 } over 2})
(AH = {2 over 3}.AM = {{asqrt 3 } over 3})
(SA = {{AH} over {c{ m{os}}{{60}^0}}}) = ({{2asqrt 3 } over 3}=SB)
Xét tam giác vuông SBM ta có: (SM = sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = frac{{asqrt {39} }}{6}).
Qua B kẻ (BD ot SA), khi đó ta có:
(egin{array}{l}
left{ egin{array}{l}
BC ot AM
BC ot SH
end{array}
ight. Rightarrow BC ot left( {SAM}
ight) Rightarrow BC ot SA
left{ egin{array}{l}
SA ot BC
SA ot BD
end{array}
ight. Rightarrow SA ot left( {BCD}
ight)
end{array})
Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.
(SA ot left( {BCD} ight) Rightarrow SA ot DM)
Xét tam giác vuông ADM có: (DM = AM.sin 60 = frac{{asqrt 3 }}{2}.frac{{sqrt 3 }}{2} = frac{{3a}}{4}).
Xét tam giác vuông SDM có: (SD = sqrt {S{M^2} - D{M^2}} = frac{{5sqrt 3 }}{{12}}a)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
({{{V_{S.DBC}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} over {SA}}.{{SB} over {SB}}.{{SC} over {SC}} = {{5asqrt 3 } over {12}}:{{2asqrt 3 } over 3} = {5 over 8})
b) Ta có: (S_{ABC}) = ({{{a^2}sqrt 3 } over 4}); (SH = AH.tan60^0 = a)
( Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 over 3}.SH.{S_{ABC}}) ( Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}sqrt 3 } over {12}})
Từ kết quả câu a) ta có:
({V_{S.DBC}} = {5 over 8}.{V_{S.ABC}}) ( Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 over 8}.{{{a^3}sqrt 3 } over {12}})
( Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}sqrt 3 } over {96}})
zaidap.com
