Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm nguyên hàm của các hàm số sau...

Bài 41

a) (y = 2xleft( {1 – {x^{ – 3}}} ight);)          b) (y = 8x – {2 over {{x^{{1 over 4}}}}};)
c) (y = {x^{{1 over 2}}}sin left( {{x^{{3 over 2}}} + 1} ight);)      d) (y = {{sin left( {2x + 1} ight)} over {{{cos }^2}left( {2x + 1} ight)}};)

Giải

a) (int {2xleft( {1 – {x^{ – 3}}} ight)} dx = int {left( {2x – 2{x^{ – 2}}} ight)dx = {x^2} + {2 over x} + C} )

b) (int {left( {8x – {2 over {{x^{{1 over 4}}}}}} ight)dx = } int {left( {8x – 2{x^{ – {1 over 4}}}} ight)} dx = 4{x^2} – {8 over 3}{x^{{3 over 4}}} + C)

c) Đặt 

(eqalign{
& u = {x^{{3 over 2}}} + 1 Rightarrow du = {3 over 2}{x^{{1 over 2}}}dx Rightarrow {x^{{1 over 2}}}dx = {2 over 3}du cr
& int {{x^{{1 over 2}}}sinleft( {{x^{{3 over 2}}} + 1} ight)dx = {2 over 3}int {sin udu = – {2 over 3}cos u + C = – {2 over 3}cos left( {{x^{{3 over 2}}} + 1} ight)} + C} cr} )

d) Đặt (u = cos left( {2x + 1} ight) Rightarrow du =  – 2sin left( {2x + 1} ight)dx Rightarrow sin left( {2x + 1} ight)dx =  – {1 over 2}du)

Do đó (int {{{sin left( {2x + 1} ight)} over {{{cos }^2}left( {2x + 1} ight)}}} dx =  – {1 over 2}int {{{du} over {{u^2}}} = {1 over {2u}} + C = {1 over {2cos left( {2x + 1} ight)}}}  + C)