Bài 5.16 trang 221 sách bài tập – Giải tích 12: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

a)  ({5^{cos (3x + {pi  over 6})}} = 1)                     b) ({6.4^x} – {13.6^x} + {6.9^x} = 0)

c) ({7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7)                           d) ({log _4}(x + 2){log _x}2 = 1)

e) ({{{{log }_3}x} over {{{log }_9}3x}} = {{{{log }_{27}}9x} over {{{log }_{81}}27x}})                 f) ({log _3}x + {log _4}(2x – 2) = 2)

Hướng dẫn làm bài:

a) Vì  1 = 5⁰  nên ta có ({5^{cos (3x + {pi  over 6})}} = 1 Leftrightarrow 6 cos (3x + {pi  over 6}) = 0)

(Leftrightarrow 3x + {pi  over 6} = {pi  over 2} + kpi Rightarrow  x = {pi  over 9} + k{pi  over 3}(k in Z))

b)  ({6.4^x} – {13.6^x} + {6.9^x} = 0)                   (1)

Vì  ({4^x},{6^x},{9^x})  đều khác 0 với mọi (x in R) nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho ({4^x})  hoặc ({6^x})  hoặc ({9^x}) , ta được phương trình tương đương.

Chia cả hai vế cho  ({6^x}), ta có: ((1) Leftrightarrow 6.{({2 over 3})^x} – 13 + 6.{({3 over 2})^x} = 0)

Đặt({({2 over 3})^x} = t(t > 0)) , ta có:

(6t – 13 + {6 over t} = 0 Leftrightarrow 6{t^2} – 13t + 6 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{t = {3 over 2}} cr {t = {2 over 3}} cr} } ight.)

+) Với  (t = {2 over 3}) ta có  ({({2 over 3})^x} = {2 over 3} Leftrightarrow x = 1)

+) Với  (t = {3 over 2}) ta có  ({({2 over 3})^x} = {3 over 2} Leftrightarrow x =  – 1)

c) Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:

({x^2} + 2x.{log _7}5 – 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {{log }_7}5 – sqrt {log _7^25 + 1} } cr {x = – {{log }_7}5 + sqrt {log _7^25 + 1} } cr} } ight.)

d) ({log _4}(x + 2).{log _x}2 = 1)

Điều kiện:  (left{ matrix{x + 2 > 0 hfill cr x > 0 hfill cr x e 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{x > 0 hfill cr x e 1 hfill cr} ight.)

(1) Leftrightarrow{1 over 2}{log _2}(x + 2).{1 over {{{log }_2}x}} = 1 Leftrightarrow {log _2}(x + 2) = {log _2}{x^2})

(Leftrightarrow{x^2} – x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – 1(loại)} cr {x = 2} cr} } ight.)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

e) Điều kiện:  x > 0

Đổi sang cơ số 3 và đặt ({log _3}x = t) , ta được  phương trình: ({t over {1 + t}} = {{2(2 + t)} over {3(3 + t)}})

Giải phương trình ẩn t, ta được  ({t_1} = 1,{t_2} =  – 4)

Vậy phương trình có hai nghiệm  ({x_1} = 3;{x_2} = {1 over {81}})

g) Điều kiện: 

(left{ {matrix{{x > 0} cr {2x – 2 > 0} cr} } ight. Leftrightarrow x > 1)

Đặt ({log _3}x + {log _4}(2x – 2) = f(x))

Dễ thấy f(x) là hàm số đồng biến. Mặt khác  f(3) = 2 nên ta có:

f(x) > f(3) = 2 với x > 3 và f(x) < f(3) = 2 với 1 < x < 3.

Từ đó suy ra  x = 3 là nghiệm duy nhất.