Bài 5.17 trang 222 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Giải các bất phương trình sau:...

Giải các bất phương trình sau:

a)  ({({1 over 2})^{{{log }_{{1 over 3}}}({x^2} – 3x + 1)}} < 1)                             

b)  (4{x^2} + {3.3^{sqrt x }} + x{.3^{sqrt x }} < 2{x^2}{.3^{sqrt x }} + 2x + 6)

c)  ({log _x}4.{log _2}{{5 – 12x} over {12x – 8}} ge 2)

Hướng dẫn làm bài:

a) Điều kiện   (left[ {matrix{{x > {{3 + sqrt 5 } over 2}} cr {x < {{3 – sqrt 5 } over 2}} cr} } ight.)

Vì  (0 < {1 over 2} < 1) và  (1 = {({1 over 2})^0})  nên ta có:

({({1 over 2})^{{{log }_{{1 over 3}}}({x^2} – 3x + 1)}} < 16)

(Leftrightarrow  {log _{{1 over 3}}}({x^2} – 3x + 1) > 0)

(Leftrightarrow {x^2} – 3x + 1 < 1 Leftrightarrow  0 < x < 3)

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là (left[ {matrix{{0 < x < {{3 – sqrt 5 } over 2}} cr {{{3 + sqrt 5 } over 2} < x < 3} cr} } ight.)

b) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với

(4{x^2} + {3.3^{sqrt x }} + x{.3^{sqrt x }} – 2{x^2}{.3^{sqrt x }} – 2x – 6 < 0)

(Leftrightarrow (3 + x – 2{x^2}){3^{sqrt x }} – 2(x – 2{x^2} + 3) < 0)

(Leftrightarrow ( – 2{x^2} + x + 3)({3^{sqrt x }} – 2) < 0)

(Leftrightarrow  left[ {matrix{{left{ {matrix{{{3^{sqrt x }} – 2 < 0} cr { – 2{x^2} + x + 3 > 0} cr {x ge 0} cr},,,, (1)} ight.} cr {left{ {matrix{{{3^{sqrt x }} – 2 > 0} cr { – 2{x^2} + x + 3 < 0} cr {x ge 0} cr},,,, (2)} ight.} cr} } ight.)

((1) Leftrightarrow left{ {matrix{{x < log _3^22} cr {x ge 0} cr { – 1 < x < {3 over 2}} cr} } ight. Leftrightarrow 0 le x < log _3^22)  (vì (log _3^22 < 1 < {3 over 2}))

((2) Leftrightarrow  left{ {matrix{{x > log _3^22} cr {x ge 0} cr {left[ {matrix{{x < – 1} cr {x > {3 over 2}} cr} } ight.} cr} } ight. Leftrightarrow  x > {3 over 2})

Vậy nghiệm của bất phương trình là  (0 le x < log _3^22)  hoặc (x > {3 over 2})

c) Điều kiện: (left{ {matrix{{x > 0} cr {x e 1} cr {{{5 – 12x} over {12x – 8}} > 0} cr} } ight. Leftrightarrow  {5 over {12}} < x < {2 over 3},,,,(*))

Bất phương trình đã cho tương đương với

({2 over {{{log }_2}x}}.{log _2}{{5 – 12x} over {12x – 8}} ge 2 Leftrightarrow  {log _2}{{5 – 12x} over {12x – 8}} le {log _2}x) 

(vì khi (x in ({5 over {12}};{2 over 3}))  thì ({log _2}x < 0) )

( Leftrightarrow  {{5 – 12x} over {12x – 8}} – x le 0)

(Leftrightarrow  {{(6x + 5)(1 – 2x)} over {12x – 8}} le 0)

(left[ {matrix{{ – {5 over 6} le x le {1 over 2}} cr {x > {2 over 3}} cr} } ight.).

Kết hợp với điều kiện  (*), ta có ({5 over {12}} < x le {1 over 2})