Bài 5.13 trang 221 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm...

Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:

(s(x) = {{{a^x} – {a^{ – x}}} over 2};c(x) = {{{a^x} + {a^{ – x}}} over 2};t(x) = {{{a^x} – {a^{ – x}}} over {{a^x} + {a^{ – x}}}})

Hãy chứng minh rằng:

a) ({c^2}(x) – {s^2}(x) = 1)                   

b) (s(2x) = 2s(x)c(x))

c)   (c(2x) = 2{c^2}(x) – 1 = 2{s^2}(x) + 1 = {c^2}(x) + {s^2}(x))  

d) (t(2x) = {{2t(x)} over {1 + {t^2}(x)}})

Hướng dẫn làm bài

Với a dương và khác 1, ta có:

a)  ({c^2}(x) – {s^2}(x) = {({{{a^x} + {a^{ – x}}} over 2})^2} – {({{{a^x} – {a^{ – x}}} over 2})^2})

(= {{{a^{2x}} + {a^{ – 2x}} + 2 – {a^{2x}} – {a^{ – 2x}} + 2} over 4} = {4 over 4} = 1)

d) (t(2x) = {{{a^{2x}} – {a^{ – 2x}}} over {{a^{2x}} + {a^{ – 2x}}}}) . Mặt khác, ta có:

 (1 + {t^2}(x) = 1 + {({{{a^x} – {a^{ – x}}} over {{a^x} + {a^{ – x}}}})^2} = {{2({a^{2x}} + {a^{ – 2x}})} over {{a^{2x}} + {a^{ – 2x}} + 2}})

Ta biến đổi vế phải  

({{2t(x)} over {1 + {t^2}(x)}} = 2{{{a^x} – {a^{ – x}}} over {{a^x} + {a^{ – x}}}}.{{{a^{2x}} + {a^{ – 2x}} + 2} over {2({a^{2x}} + {a^{ – 2x}})}})

(= {{2({a^x} – {a^{ – x}}){{({a^x} + {a^{ – x}})}^2}} over {2({a^x} + {a^{ – x}})({a^{2x}} + {a^{ – 2x}})}} = {{{a^{2x}} – {a^{ – 2x}}} over {{a^{2x}} + {a^{ – 2x}}}})