Bài 2.55 trang 134 SBT Giải tích 12: Giải các bất phương trình mũ sau:...

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) ({(8,4)^{frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1)                                                               

b) ({2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}})

c) (frac{{{4^x} – {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 – x}}}} < {8^x})                                                          

d) (frac{1}{{{3^x} + 5}} le frac{1}{{{3^{x + 1}} – 1}})               

Hướng dẫn làm bài:

a) (8,{4^{frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} Leftrightarrow frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 Leftrightarrow x < 3)

b) 

(eqalign{
& {2^{|x – 2|}} > {2^{2|x + 1|}} Leftrightarrow |x – 2| > 2|x + 1| cr
& Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) cr
& Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 cr
& Leftrightarrow – 4 < x < 0 cr} )

c)

(eqalign{
& {2^{2x}} – {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 – x}} cr
& Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} – 8 > 0 cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {2^x},t > 0} cr {{t^2} + 2t – 8 > 0} cr} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {2^x},t > 0} cr {left[ {matrix{{t < – 4} cr {t > 2} cr} } ight.} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {2^x}} cr {t > 2} cr} } ight. Leftrightarrow x > 1 cr} )

d) Đặt t = 3^x (t > 0) , ta có bất phương trình (frac{1}{{t + 5}} le frac{1}{{3t – 1}})

Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là (3t – 1 > 0).

Từ đó ta có hệ: 

(left{ {matrix{{3t – 1 le t + 5} cr {3t – 1 > 0} cr} } ight. Leftrightarrow {1 over 3} < t le 3)

Do đó  (frac{1}{3} < {3^x} le 3) . Vậy ( – 1 < x le 1) .