Bài 5.7 trang 220 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ({e^x} + cos x ge 2 + x – {{{x^2}} over 2},forall x in R)

b) ({e^x} – {e^{ – x}} ge 2ln (x + sqrt {1 + {x^2}} ),forall x ge 0)

c) (8{sin ^2}{x over 2} + sin 2x > 2x,forall x in (0;pi { m{]}})

Hướng dẫn làm bài

a) Xét hàm số (f(x) = {e^x} + cos x – 2 – x + {{{x^2}} over 2})  , có tập xác định là R.

          (f'(x) = {e^x} – sin x – 1 + x;f'(x) = 0  Leftrightarrow x = 0)               

Ta lại có  (f”(x) = {e^x} + 1 – cos x > 0,forall x)  vì (1 – cos x ge 0)  và ({e^x} > 0)

Như vậy, f’(x) đồng biến trên R. Từ đó: (f'(x) < f'(0) = 0,forall x < 0;f'(x) > f'(0) = 0,forall x > 0)

Ta có bảng biến thiên

Hàm số (f(x) = {e^x} + cos x – 2 – x + {{{x^2}} over 2} ge {f_{CT}} = f(0) = 0,forall x in R)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) (forall x ge 0)  xét hàm số (f(x) = {e^x} – {e^{ – x}} – 2ln (x + sqrt {1 + {x^2}} )) , ta có

                (f'(x) = {e^x} + {e^{ – x}} – {2 over {sqrt {1 + {x^2}} }})       ;

Từ đó f ‘(x) > 0 với mọi x > 0  (vì ({e^x} + {e^{ – x}} > 2) và ({2 over {sqrt {1 + {x^2}} }} < 2) ) và (f ‘(x) = 0 Leftrightarrow x = 0)

Vậy f(x) đồng biến trên ({ m{[}}0; + infty )) , tức là:

      (f(x) ge f(0) = {e^0} – {e^0} – 2ln 1 = 0)  

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

c) Xét hàm số  (f(x) = 8{sin ^2}{x over 2} + sin 2x – 2x,forall x in (0;pi { m{]}})

      (f'(x) = 4sin x + 2cos 2x – 2 = 4sin x(1 – sin x))

(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2}} cr {x = pi } cr} } ight.)           

Với  (x in (0;pi { m{]}}) ta có (f'(x) ge 0)  và dấu bằng chỉ xảy ra tại hai điểm.

Vậy f(x) đồng biến trên nửa ((0;pi { m{]}}). Mặt khác, f(0) = 0 nên f(x) > 0.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.