Bài 3.68 trang 164 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E): ({{{x^2}} over 4} + {{{y^2}} over 1} = 1). Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý làm bài

Giả sử (Aleft( {{x_0};{y_0}} ight)). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên (B({x_0}; – {y_0}))

Ta có : (A{B^2} = 4y_0^2) và (A{C^2} = {left( {{x_0} – 2} ight)^2} + y_0^2.)

Vì (A in (E)) nên ({{x_0^2} over 4} + y_0^2 = 1 Rightarrow y_0^2 = 1 – {{x_0^2} over 4},,,,,,,,,,,,,,(1))

Vì AB = AC nên ({left( {{x_0} – 2} ight)^2} + y_0^2 = 4y_0^2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2))

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được 

(7x_0^2 – 16{x_0} + 4 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
{x_0} = 2 hfill cr
{x_0} = {2 over 7}. hfill cr} ight.)

Với ({x_0} = 2) thay vào (1) ta có ({y_0} = 0.) Trường hợp này loại vì (A equiv C.)

Với ({x_0} = {2 over 7}) thay vào (1) ta có ({y_0} =  pm {{4sqrt 3 } over 7}.)

Vậy (Aleft( {{2 over 7};{{4sqrt 3 } over 7}} ight),Bleft( {{2 over 7}; – {{4sqrt 3 } over 7}} ight)) hoặc (Aleft( {{2 over 7}; – {{4sqrt 3 } over 7}} ight),Bleft( {{2 over 7};{{4sqrt 3 } over 7}} ight))