Bài 3.67 trang 164 SBT Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là :  (sqrt 3 x – y – sqrt 3  = 0), các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

( Xem hình 3.25)

Ta có: (BC cap Ox = B(1;0))

Đặt ({x_A} = a) ta có A(a;0) và ({x_C} = a Rightarrow {y_C} = sqrt 3 a – sqrt 3 .)

Vậy (Cleft( {a;sqrt 3 a – sqrt 3 } ight).)

Từ công thức

(left{ matrix{
{x_G} = {1 over 3}left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} ight) hfill cr
{y_G} = {1 over 3}left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} ight) hfill cr} ight.)

Ta có:

(Gleft( {{{2a + 1} over 3};{{sqrt 3 left( {a – 1} ight)} over 3}} ight).)

Mà (AB = left| {a – 1} ight|,AC = sqrt 3 left| {a – 1} ight|,BC = 2left| {a – 1} ight|). Do đó : 

({S_{Delta ABC}} = {1 over 2}AB.AC = {{sqrt 3 } over 2}{left( {a – 1} ight)^2}.)

Ta có:

(eqalign{
& r = {{2S} over {AB + AC + BC}} cr
& = {{sqrt 3 {{left( {a – 1} ight)}^2}} over {3left| {a – 1} ight| + sqrt 3 left| {a – 1} ight|}} = {{left| {a – 1} ight|} over {sqrt 3 + 1}} = 2. cr} )

Vậy (left| {a – 1} ight| = 2sqrt 3  + 2.)

Trường hợp 1. 

({a_1} = 2sqrt 3  + 3 Rightarrow {G_1}left( {{{7 + 4sqrt 3 } over 3};{{6 + 2sqrt 3 } over 3}} ight).)

Trường hợp 2. 

({a_2} =  – 2sqrt 3  – 1 Rightarrow {G_2}left( {{{4sqrt 3  – 1} over 3};{{ – 6 – 2sqrt 3 } over 3}} ight).)