Bài 13 trang 198 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : ((x – 1) + {(y – 2)^2} = 4) và hai điểm A(1 ; 4),     . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có ({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1)

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có: (IA = sqrt {{{left( {1 – 1} ight)}^2} + {{left( {4 – 2} ight)}^2}}  = 2 = R)

(IB = sqrt {{{left( {1 – 1} ight)}^2} + {{left( {{1 over 2} – 2} ight)}^2}}  = {3 over 2} < R.)

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

({{{S_{AMN}}} over {{S_{IMN}}}} = {{AK} over {IH}} = {{AB} over {IB}} = {{{7 over 2}} over {{3 over 2}}} = {7 over 3}.)

Suy ra ({S_{AMN}} = {7 over 3}{S_{IMN}})

( = {7 over 3}.{1 over 2}.I{ m{I}}sin MIN)

( = {{14} over 3}sin MIN le {{14} over 3}.)

({S_{AMN}}) lớn nhất ( Leftrightarrow sin MIN = 1 Leftrightarrow widehat {MIN} = {90^ circ })

(Leftrightarrow IH = {{Rsqrt 2 } over 2} Leftrightarrow d(I,MN) = sqrt 2 )

Phương trình đường thẳng MN là : 

(y – {1 over 2} = k(x – 1) Leftrightarrow 2kx – 2y + (1 – 2k) = 0.)

Ta có:

(eqalign{
& d(I,MN) = sqrt 2 cr
& Leftrightarrow {{left| {2k – 4 + 1 – 2k} ight|} over {sqrt {4{k^2} + 4} }} = sqrt 2 cr} )

( Leftrightarrow 3 = sqrt {8({k^2} + 1)}  Leftrightarrow k =  pm {{sqrt 2 } over 4}.)

Vậy phương trình đường thẳng d là : (y =  pm {{sqrt 2 } over 4}left( {x – 1} ight) + {1 over 2}).