Bài 3.56 trang 163 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0

Gợi ý làm bài

Ta gọi ({d_1}:x – y + 2 = 0) và ({d_2}:4x + 3y – 1 = 0).

Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua ({d_1})

Khi đó H’ thuộc đường thẳng AC (h.3.16). 

(overrightarrow u  = (1;1)) là vectơ chỉ phương của ({d_1}), (overrightarrow {HH’}  = left( {a + 1;b + 1} ight)) vuông góc với (overrightarrow u ) và trung điểm (Ileft( {{{a – 1} over 2};{{b – 1} over 2}} ight)) của (overrightarrow {HH’} ) thuộc ({d_1}). Do đó tọa độ của H’ là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
1.left( {a + 1} ight) + 1left( {b + 1} ight) = 0 hfill cr
{{a – 1} over 2} – {{b – 1} over 2} = 0 hfill cr} ight. Rightarrow H'( – 3;1).)

Đường thẳng AC đi qua H’ vuông góc với ({d_2}) nên có viectơ pháp tuyến là (overrightarrow v  = left( {3; – 4} ight)), suy ra AC có phương trình là : 

(eqalign{
& 3left( {x + 3} ight) – 4left( {y – 1} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow 3x – 4y + 13 = 0. cr} )

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình  (left{ matrix{
3x – 4y + 13 = 0 hfill cr
x – y + 2 = 0 hfill cr} ight.)

( Rightarrow A(5;7).)

Đường thẳng CH đi qua H (-1 ; -1) với vectơ pháp tuyến là ({1 over 2}overrightarrow {HA}  = left( {3;4} ight)) nên có phương trình là: 

(3left( {x + 1} ight) + 4left( {y + 1} ight) = 0 Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0.)

Tọa độ của C là nghiệm của phương trình

(left{ matrix{
3x + 4y + 7 = 0 hfill cr
3x – 4y + 13 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow Cleft( { – {{10} over 3};{3 over 4}} ight).)