Bài 10 trang 198 Sách bài tập Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): ({{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1). Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là ({F_1},{F_2}) và M thuộc (E) sao cho (widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ circ }) . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác  (M{F_1}{F_2})

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.33)

Elip (E) có phương trình chính tắc: ({{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1.)

Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra ({c^2} = {a^2} – {b^2} = 25 – 9 = 16.)

Vậy c = 4.

Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có:

(left{ matrix{
{F_1}M = a + {c over a}x = 5 + {4 over 5}x hfill cr
{F_2}M = a – {c over a}x = 5 – {4 over 5}x hfill cr} ight.)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ({F_1}M{F_2}) ta có:

({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 – 2M{F_1}.M{F_2}cos {60^ circ })

( Leftrightarrow 4{c^2} = {left( {5 + {4 over 5}x} ight)^2} + {left( {5 – {4 over 5}x} ight)^2} – 2left( {25 – {{16} over {25}}{x^2}} ight).{1 over 2})

(Leftrightarrow 64 = 25 + {{48} over {25}}{x^2} Leftrightarrow {x^2} = {{25} over {16}}.13 Leftrightarrow x =  pm {5 over 4}sqrt {13} ,,(1))

Ta lại có: (M in left( E ight) Rightarrow {{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1,,,,,(2))

Thay (1) vào phương trình (2) ta được:

({{{y^2}} over 9} = 1 – {{13} over {16}} Leftrightarrow {y^2} = {9 over {16}}.3 Leftrightarrow y =  pm {3 over 4}sqrt 3 .)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là (left( { pm {5 over 4}sqrt {13} ; pm {3 over 4}sqrt 3 } ight).)