Bài 13 trang 215 Sách bài tập Toán Đại số 10: Giải các hệ phương trình sau...

Giải các hệ phương trình sau

a) (left{ matrix{
x + y + xy = 5 hfill cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7; hfill cr} ight.)

b) (left{ matrix{
{x^2} + {y^2} – xy = 13 hfill cr
x + y – sqrt {xy} = 3. hfill cr} ight.)

Gợi ý làm bài

a) (left{ matrix{
x + y + xy = 5 hfill cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x + y + xy = 5 hfill cr
{(x + y)^2} + (x + y) = 12 hfill cr} ight.)

Đặt u = x + y ta được ({u^2} + u – 12 = 0)

Giải ra ta được ({u_1} = 3,{u_2} =  – 4)

Với u = 3 ta có hệ phương trình 

(left{ matrix{
x + y = 3 hfill cr
xy = 2 hfill cr} ight.(*))

Với u = -4 ta được hệ phương trình 

(left{ matrix{
x + y = – 4 hfill cr
xy = 9 hfill cr} ight.) (vô nghiệm)

Đáp số: (1; 2) và (2; 1).

b) Đặt

(left{ matrix{
u = x + y hfill cr
v = sqrt {xy} hfill cr} ight.(v ge 0)) ta được hệ phương trình

(left{ matrix{
{u^2} – 3{v^2} = 13 hfill cr
u – v = 3 hfill cr} ight.)

hay 

(left{ matrix{
u – v = 3 hfill cr
{u^2} – 9u + 20 = 0 hfill cr} ight.)

Giải hệ phương trình trên ta được

u = 5, v = 2

hoặc u = 4, v = 1

Vậy

(left{ matrix{
x + y = 5 hfill cr
sqrt {xy} = 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
x = 4 hfill cr
y = 1 hfill cr} ight. hfill cr
left{ matrix{
y = 4 hfill cr
x = 1 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

và 

(left{ matrix{
x + y = 4 hfill cr
sqrt {xy} = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
x = 2 – sqrt 3 hfill cr
y = 2 + sqrt 3 hfill cr} ight. hfill cr
left{ matrix{
x = 2 + sqrt 3 hfill cr
y = 2 – sqrt 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là

((4;1);(1;4);(2 – sqrt 3 ;2 + sqrt 3 );(2 + sqrt 3 ;2 – sqrt 3 ))