Bài 10 trang 215 SBT Toán Đại số 10: Cho phương trình bậc hai...

Cho phương trình bậc hai

(a{x^2} – 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0) (E)

Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

c)Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm ({x_1},{x_2}) của (E) thỏa mãn hệ thức ({x_1} = 3{x_2})? Tìm các nghiệm ({x_1},{x_2}) trong mỗi trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

a) Phải có:

(Delta  = {(a + 1)^2} – {(a + 1)^2}{a^2} = {(a + 1)^2}(1 – {a^2}) ge 0)

( Leftrightarrow  – 1 le a le 1,a e 0)

b) Ta có:

(P = {(a + 1)^2})

(P = 0 Leftrightarrow a =  – 1), khi đó ({x_1} = {x_2} = 0)

(P > 0,forall a e  – 1) khi đó ({x_1},{x_2}) cùng dấu.

Mặt khác (S = {{2(a + 1)} over a})

Suy ra:

Với (0 < a le 1) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;

Với ( – 1 le a < 0) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

c) Từ (S = {{2(a + 1)} over a}) suy ra (a = {2 over {S – 2}})

Do đó: (P = {left( {{2 over {S – 2}} + 1} ight)^2} = {{{S^2}} over {{{(S – 2)}^2}}} Leftrightarrow {(S – 2)^2}P – {S^2} = 0)

d) (left{ matrix{
{x_1} + {x_2} = {{2(a + 1)} over a} hfill cr
{x_1} = 3{x_2} hfill cr} ight. = > 4{x_2} = {{2(a + 1)} over a})

(left{ matrix{
{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2} hfill cr
{x_1} = 3{x_2} hfill cr} ight. = > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.)

Suy ra: 

({(a + 1)^2}(4{a^2} – 3) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
a = – 1 hfill cr
a = {{sqrt 3 } over 2} hfill cr
a = – {{sqrt 3 } over 2} hfill cr} ight.)

Với a = – 1 ta có: ({x_1} = {x_2} = 0)

Với (a = {{sqrt 3 } over 2}) ta có: ({x_2} = {{3 + 2sqrt 3 } over 6};{x_1} = {{3 + 2sqrt 3 } over 2})

Với (a =  – {{sqrt 3 } over 2}) ta có: ({x_2} = {{3 – 2sqrt 3 } over 6};{x_1} = {{3 – 2sqrt 3 } over 2})