Bài 36 trang 197 Sách bài tập Toán Đại số 10: Rút gọn các biểu thức...

Rút gọn các biểu thức

a) ({{ an 2alpha } over { an 4alpha  – an 2alpha }})

b) (sqrt {1 + sin alpha }  – sqrt {1 – sin alpha } ) với (0 < alpha  < {pi  over 2})

c) ({{3 – 4cos 2alpha  + c{ m{os4}}alpha } over {3 + 4cos 2alpha  + cos 4alpha }})

d) ({{sin alpha  + sin 3alpha  + sin 5alpha } over {cos alpha  + cos 3alpha  + c{ m{os5}}alpha }})

Gợi ý làm bài

a) 

(eqalign{
& {{ an 2alpha } over { an 4alpha – an 2alpha }} = {{ an 2alpha } over {{{2 an 2alpha } over {1 – {{ an }^2}alpha }} – an 2alpha }} cr
& = {{1 – {{ an }^2}2alpha } over {1 + {{ an }^2}2alpha }} = cos 4alpha cr} )

b) 

(eqalign{
& sqrt {1 + sin alpha } – sqrt {1 – sin alpha } cr
& = sqrt {{{left( {cos{alpha over 2} + sin{alpha over 2}} ight)}^2}} – sqrt {{{left( {cos{alpha over 2} – sin{alpha over 2}} ight)}^2}} cr} )

Vì (0 < alpha  < {pi  over 2}) nên (0 < {alpha  over 2} < {pi  over 4})

Suy ra (0 < sin {alpha  over 2} < cos {alpha  over 2})

Vậy (sqrt {1 + sin alpha }  – sqrt {1 – sin alpha }  = cos{alpha  over 2} + sin{alpha  over 2} – (cos{alpha  over 2} – sin{alpha  over 2}))

( = 2sin{alpha  over 2})

c) ({{3 – 4cos 2alpha  + c{ m{os4}}alpha } over {3 + 4cos 2alpha  + cos 4alpha }} = {{3 – 4cos 2alpha  + 2c{ m{o}}{{ m{s}}^2}{ m{2}}alpha  – 1} over {3 + 4cos 2alpha  + 2c{ m{o}}{{ m{s}}^2}{ m{2}}alpha  – 1}})

( = {{2(c{ m{o}}{{ m{s}}^2}{ m{2}}alpha  – 2cos 2alpha  + 1)} over {2(c{ m{o}}{{ m{s}}^2}{ m{2}}alpha  + 2cos 2alpha  + 1)}})

( = {{{{(cos 2alpha  – 1)}^2}} over {{{(cos 2alpha  + 1)}^2}}} = {{{{( – 2{{sin }^2}alpha )}^2}} over {{{(2{{cos }^2}alpha )}^2}}} = { an ^4}alpha )

d) 

(eqalign{
& {{sin alpha + sin 3alpha + sin 5alpha } over {cos alpha + cos 3alpha + c{ m{os5}}alpha }} cr
& = {{(sin 5alpha + sin alpha ) + sin 3alpha } over {(cos 5alpha + cos alpha ) + c{ m{os3}}alpha }} cr} )

( = {{sin 3alpha (2cos 2alpha  + 1)} over {c{ m{os3}}alpha (2cos 2alpha  + 1)}} = an 3alpha )