Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 7 Sách bài tập Toán 8 tập 1

Câu 15 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ({a^2}) chia cho 5 dư 1.

Giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (k∈N)

Ta có: (eqalign{  & {a^2} = {left( {5k + 4} ight)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1  cr  &  cr} )   

                 ( = 5left( {5{k^2} + 8k + 3} ight) + 1)                

                 ( = 5left( {5{k^2} + 8k + 3} ight) + 1 vdots 5) .

Vậy ({a^2} = {left( {5k + 4} ight)^2}) chia cho 5 dư 1

Câu 16 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a. ({x^2} - {y^2})  tại (x = 87)  và  (y = 13)

b. ({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1) tại (x = 101)

c. ({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27)  tại (x = 97)

Giải:

a. ({x^2} - {y^2})(= left( {x + y} ight)left( {x - y} ight)) . Thay (x = 87;y = 13)

     Ta có: ({x^2} - {y^2})( = left( {x + y} ight)left( {x - y} ight))

( = left( {87 + 13} ight)left( {87 - 13} ight) = 100.74 = 7400)

b. ({x^3} - 3{x^2} + 3x – 1) ( = {left( {x - 1} ight)^3})

Thay (x = 101)

Ta có: ({left( {x - 1} ight)^3} = {left( {101 - 1} ight)^3} = {100^3} = 1000000)

c. ({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27) ( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {left( {x + 3} ight)^3})

Thay (x = 97)  ta có:

({left( {x + 3} ight)^3} = {left( {97 + 3} ight)^3} = {100^3} = 1000000)

Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

a. (left( {a + b} ight)left( {{a^2} - ab + {b^2}} ight) + left( {a - b} ight)left( {{a^2} + ab + {b^2}} ight) = 2{a^3})

b. (left( {a + b} ight)left[ {{{left( {a - b} ight)}^2} + ab} ight] = left( {a + b} ight)left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} ight] = {a^3} + {b^3})

c. (left( {{a^2} + {b^2}} ight)left( {{c^2} + {d^2}} ight) = {left( {ac + bd} ight)^2} + {left( {ad - bc} ight)^2})

Giải:                                                

a. Biến đổi vế trái:

(eqalign{  & left( {a + b} ight)left( {{a^2} - ab + {b^2}} ight) + left( {a - b} ight)left( {{a^2} + ab + {b^2}} ight)  cr  &  = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} cr} )

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế phải:

(eqalign{  & left( {a + b} ight)left[ {{{left( {a - b} ight)}^2} + ab} ight] = left( {a + b} ight)left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} ight]  cr  &  = left( {a + b} ight)left( {{a^2} - ab + {b^2}} ight) = {a^3} + {b^3} cr} )

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế phải:

(eqalign{  & {left( {ac + bd} ight)^2} + {left( {ad - bc} ight)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2}  cr  &  = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = cleft( {{a^2} + {b^2}} ight) + {d^2}left( {{a^2} + {b^2}} ight)  cr  &  = left( {{a^2} + {b^2}} ight)left( {{c^2} + {d^2}} ight) cr} )

Vế phải bằng vế trái, đẳng  thức được chứng minh.

Câu 18 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng tỏ rằng:

a. ({x^2} - 6x + 10 > 0)  với mọi (x)

b. (4x - {x^2} - 5 < 0)  với mọi (x)

Giải:

a. ({x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 2.x.3 + 9 + 1 = {left( {x - 3} ight)^2} + 1)

Ta có: ({left( {x - 3} ight)^2} ge 0) với mọi (x)  nên ({left( {x - 3} ight)^2} + 1 > 0)  mọi (x)

Vậy ({x^2} - 6x + 10 > 0) với mọi (x)

b. (4x - {x^2} - 5 =  - left( {{x^2} - 4x + 4} ight) - 1 =  - {left( {x - 2} ight)^2} - 1)

Ta có: ({left( {x - 2} ight)^2} ge 0) với mọi  ⇒( - {left( {x - 2} ight)^2} le 0)  mọi (x)

⇒( - {left( {x - 2} ight)^2} - 1 < 0)  với mọi (x)

Vậy (4x - {x^2} - 5 < 0)với mọi (x)

Zaidap.com