Câu 56 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2 PK và CP = 2PM.

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Giải:

(hình trang 121 sgbt)

 

Xét ∆ PAC và ∆ PKM, ta có:

({{PK} over {PA}} = {1 over 2};{{PM} over {PC}} = {1 over 2})

Suy ra: ({{PK} over {PA}} = {{PM} over {PC}} = {1 over 2})

Lại có: (widehat {APC} = widehat {KPM})  (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = ({1 over 2})

Suy ra: ({{KM} over {AC}} = {1 over 2})                          (1)

Vì ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC nên:

(widehat {PKM} = widehat {PAC})

Suy ra: KM // AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong tam giác ABC, ta có: KM // AC

Suy ra: ∆ BMK đồng dạng ∆ BAC (g.g)

Suy ra: ({{BM} over {BA}} = {{BK} over {BC}} = {{MK} over {AC}})     (2)

Từ (1) và (2) suy ra : ({{BM} over {BA}} = {{BK} over {BC}} = {1 over 2})

Vì BM = ({1 over 2}) BA nên M lừ trung điểm AB

Vì BK = ({1 over 2}) BC nên K là trung điểm của BC.

Vậy BK và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.