27/04/2018, 14:05

Câu 56 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC. ...

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2 PK và CP = 2PM.

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Giải:

(hình trang 121 sgbt)

 

Xét ∆ PAC và ∆ PKM, ta có:

({{PK} over {PA}} = {1 over 2};{{PM} over {PC}} = {1 over 2})

Suy ra: ({{PK} over {PA}} = {{PM} over {PC}} = {1 over 2})

Lại có: (widehat {APC} = widehat {KPM})  (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = ({1 over 2})

Suy ra: ({{KM} over {AC}} = {1 over 2})                          (1)

Vì ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC nên:

(widehat {PKM} = widehat {PAC})

Suy ra: KM // AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong tam giác ABC, ta có: KM // AC

Suy ra: ∆ BMK đồng dạng ∆ BAC (g.g)

Suy ra: ({{BM} over {BA}} = {{BK} over {BC}} = {{MK} over {AC}})     (2)

Từ (1) và (2) suy ra : ({{BM} over {BA}} = {{BK} over {BC}} = {1 over 2})

Vì BM = ({1 over 2}) BA nên M lừ trung điểm AB

Vì BK = ({1 over 2}) BC nên K là trung điểm của BC.

Vậy BK và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

0