Câu 57 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD(M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Giải:

(hình trang 122, 123 sgbt)

 

Trường hợp góc B nhọn :

Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:

(widehat {AMB} = widehat {AND} = 90^circ )

(widehat B = widehat D) (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)

Suy ra:

  (eqalign{  & {{AM} over {AN}} = {{AB} over {AD}}  cr  &  Rightarrow {{AM} over {AB}} = {{AN} over {AD}} cr} )

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ({{AM} over {AB}} = {{AN} over {BC}})

Lại có: AB // CD (gt)

AN ⊥ CD (gt)

Suy ra: AN ⊥ AB hay góc NAB = 90°

Suy ra: (widehat {NAM} + widehat {MAB} = 90^circ )   (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có: (widehat {ABM} = 90^circ )

Suy ra: (widehat {MAB} + widehat B = 90^circ )               (2)

Từ (1) và (2) suy ra : (widehat {NAM} = widehat B)

Xét ∆ ABC và ∆ MAN, ta có:

({{AM} over {AB}} = {{AN} over {BC}})  (chứng minh trên )

(chứng minh trên )

Vậy ∆ ABC đồng dạng ∆ MAN (c.g.c)

Trường hợp góc B tù:

 

Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:

(widehat {AMB} = widehat {AND} = 90^circ )

(widehat {ABM} = widehat {ADN}) (vì cùng bằng góc C)

Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)

Suy ra: ({{AM} over {AN}} = {{AB} over {AD}} Rightarrow {{AM} over {AB}} = {{AN} over {AD}})

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành )

Suy ra: ({{AM} over {AB}} = {{AN} over {BC}})

Vì AB // CD nên (widehat {ABC} + widehat C = 180^circ )                 (3)

Tứ giác AMCN có (widehat {AMC} = widehat {AND} = 90^circ )

 Suy ra: (widehat {MAN} + widehat C = 180^circ )                              (4)

Từ (3) và (4) suy ra : (widehat {MAN} = widehat {ABC})

Xét ∆ AMN và ∆ ABC, ta có:

({{AM} over {AB}} = {{AN} over {BC}}) (chứng minh trên )

 (widehat {MAN} = widehat {ABC}) (chứng minh trên )

Vậy ∆ MAN đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)