Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi (x in R)

(y = {cos ^2}left( {{pi  over 3} - x} ight) + {cos ^2}left( {{pi  over 3} + x} ight) )

(+ {cos ^2}left( {{{2pi } over 3} - x} ight) + {cos ^2}left( {{{2pi } over 3} + x} ight) - 2{sin ^2}x)

Giải

Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp

                        (left( {{{cos }^2}u} ight)' = 2cos uleft( { - sin u} ight).u' =  - u'.sin 2u)

Ta được

(eqalign{& y' = left[ {sin left( {{{2pi } over 3} - 2x} ight) - sin left( {{{2pi } over 3} + 2x} ight)} ight]cr& + left[ {sin left( {{{4pi } over 3} - 2x} ight) - sin left( {{{4pi } over 3} + 2x} ight)} ight] - 2sin 2x  cr& ,,,,,, = 2cos {{2pi } over 3}.sin left( { - 2x} ight) + 2cos {{4pi } over 3}.sin left( { - 2x} ight) cr&- 2sin 2x,,left( {forall x in R} ight) cr} )

Vì (cos {{2pi } over 3} = cos {{4pi } over 2} =  - {1 over 2}) nên

                        (y' = sin 2x + sin 2x - 2sin 2x = 0)

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

                        ({cos ^2}u = {{1 + cos 2u} over 2})

Ta chứng minh được (y = 1). Vậy (y' = 0)

zaidap.com