Câu 5.43 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số, chứng minh rằng

Cho hàm số

                (fleft( x ight) = {1 over {left| {cos x} ight|}}left( {x e {pi  over 2} + kpi ;k in Z} ight)) 

Chứng minh rằng

                        (f'left( x ight) = {{ an x} over {left| {cos x} ight|}})

Giải

Vì (x e {pi  over 2} + kpi ,k in Z) nên (cos x e 0.) Xét hai trường hợp

+ Nếu (cos x > 0) thì

                            (fleft( x ight) = {1 over {left| {cos x} ight|}} = {1 over {cos x}})

Suy ra

            (f'left( x ight) =  - {{left( { - sin x} ight)} over {{{cos }^2}x}} = {{sin x} over {{{cos }^2}x}} = {1 over {cos x}}. an x = {{ an x} over {left| {cos x} ight|}},,,left( 1 ight))

Nếu (cos x < 0) thì

                        (fleft( x ight) = {1 over {left| {cos x} ight|}} = -{1 over {cos x}})

Suy ra

(f'left( x ight) =  - {{ - sin x} over {{{cos }^2}x}} = {1 over {cos x}}. an x = {{ an x} over {left| {cos x} ight|}},,,,,,,,,,,,left( 2 ight))

Từ (1) và (2) suy ra (f'left( x ight) = {{ an x} over {left| {cos x} ight|}},left( {x e {pi  over 2} + kpi ,k in Z} ight).)

Sachbaitap.com