Câu 5.44 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm a để tồn tại hàm số:

Tìm a để tồn tại hàm số:

(fleft( x ight) = 4{x^3} - 6{x^2}cos 2a + 3xsin 2asin 6a)

(+ sqrt {2a - 1 - {a^2}} ) (a là hằng số)

Với giá trị của số a đó, hãy xét dấu của (f'left( {{1 over 2}} ight))

Giải

Ta nhận thấy

                        (2a - 1 - {a^2} ge 0 Leftrightarrow {left( {a - 1} ight)^2} le 0 Leftrightarrow a = 1)

Vậy :

( ullet ) Khi (a e 1) thì không tồn tại hàm số (fleft( x ight)) với bất kì (x in R), do đó không tồn tại (f'left( {{1 over 2}} ight).)

( ullet ) Khi (a = 1) thì tồn tại hàm số (fleft( x ight)) xác định với mọi (x in R) và

            (fleft( x ight) = 4{x^3} - 6{x^2}cos 2 + 3xsin 2sin 6)

Ta có   (f'left( x ight) = 12{x^2} - 12cos 2 + 3xsin 2sin 6)

(f'left( {{1 over 2}} ight) = 3 - 6cos 2 + 3sin 2sin 6)

              (= 3left( {1 - 2cos 2 + sin 2sin 6} ight))

Vì ({pi  over 2} < 2 < pi ) nên (cos 2 < 0), suy ra

(1 - 2cos 2 > 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight))

Mặt khác (left| {sin 2sin 6} ight| le 1,)  suy ra

(sin 2sin 6 ge  - 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight))

Từ (1) và (2) suy ra

(1 - 2cos 2 + sin 2sin 6 > 0 Leftrightarrow f'left( {{1 over 2}} ight) > 0)

Sachbaitap.com