Câu 5.33 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hai số A và B

Cho hai số A và B sao cho

(fleft( x ight) = {{x - 5} over {{x^2} - 1}} = {A over {x + 1}} + {B over {x - 1}},,left( {forall x e  pm 1} ight))

a) Tìm A và B

b) Tính ({f^{left( n ight)}}left( x ight),,left( {x in N^*} ight))

Giải

Ta có

                        ({{x - 5} over {{x^2} - 1}} = {{Aleft( {x - 1} ight) + Bleft( {x + 1} ight)} over {{x^2} - 1}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( {x e  pm 1} ight))

(eqalign{&  Leftrightarrow left( {A + B} ight)x + B - A equiv x - 5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( {x e  pm 1} ight)  cr&  Leftrightarrow left{ matrix{A + B = 1 hfill cr B-A =  - 5 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{A = 3 hfill cr B =  - 2 hfill cr}  ight.. cr} )

Vậy

                        (fleft( x ight) = {{x - 5} over {{x^2} - 1}} = {3 over {x + 1}} - {2 over {x - 1}})

Áp dụng công thức đạo hàm cấp n ta được:

                        ({left( {{1 over {ax + b}}} ight)^{left( n ight)}} = {{{{left( { - 1} ight)}^n}.n!.{a^n}} over {{{left( {ax + b} ight)}^{n + 1}}}})

Ta được

                        ({f^{left( n ight)}}left( x ight) = 3{{{{left( { - 1} ight)}^n}n!} over {{{left( {x + 1} ight)}^{n + 1}}}} - 2{{{{left( { - 1} ight)}^n}.n!} over {{{left( {x - 1} ight)}^{n + 1}}}})

Sachbaitap.com