Câu 5.48 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

a) Chứng minh rằng nếu (Pleft( x ight)) là một đa thức bậc ba và (alpha ) là một số thực bất kì ta có

(Pleft( {x + alpha } ight) = Pleft( alpha  ight) + xP'left( alpha  ight) + {{{x^2}} over 2}P"left( alpha  ight)) )

(+ {{{x^3}} over 6}P'left( alpha  ight),) (left( {forall x in R} ight))

b) Xác định đa thức (Pleft( x ight)) bậc ba biết

    (Pleft( 0 ight) = P'left( 0 ight) = P"left( 0 ight)=P'left( 0 ight),, = 1)

Giải

Ta viết đa thức bậc ba (Pleft( x ight)) dưới dạng

                                    (Pleft( x ight) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( {{a_0} e 0} ight))

Ta có

(eqalign{& P'left( x ight) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2}  cr& P'left( x ight) = 6{a_0}x + 2{a_1}  cr& P'left( x ight) = 6{a_0}. cr} )

Vậy

(eqalign{& {{{x^3}} over 6}P'left( alpha  ight) + {{{x^2}} over 2}P'left( alpha  ight) + xP'left( alpha  ight) + Pleft( alpha  ight)  cr&  = {a_0}{x^3} + left( {3{a_0}alpha  + {a_1}} ight){x^2} + left( {3{a_0}{alpha ^2}  + 2{a_1}alpha  + {a_2}} ight)xcr& + {a_0}{alpha ^3} + {a_1}{alpha ^2} + {a_2}alpha  + {a_3},,,,,,left( 1 ight) cr} )

Mặt khác ta có

(eqalign{& Pleft( {x + alpha } ight) = {a_0}{left( {x + alpha } ight)^3} + {a_1}{left( {x + alpha } ight)^2} cr&  ;;; + {a_2}left( {x + alpha } ight) + {a_3}  cr&  = {a_0}left( {{x^3} + 3alpha {x^2} + 3{alpha ^2}x + {alpha ^3}} ight) cr&;;; + {a_1}left( {{x^2} + 2alpha x + {alpha ^2}} ight) + {a_2}left( {x + alpha } ight) + {a_3}  cr&  = {a_0}{x^3} + left( {3{a_0}alpha  + {a_1}} ight){x^2} + left( {3{a_0}{alpha ^2} + 2{a_1}alpha  + {a_2}} ight)x cr&;;;  + {a_0}{alpha ^3} + {a_1}{alpha ^2} + {a_2}alpha  + {a_3},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight) cr} )

So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.

b) Khi (alpha  = 0,) ta được

                        (Pleft( x ight) = Pleft( 0 ight) + xP'left( 0 ight) + {{{x^2}} over 2}P'left( 0 ight) + {{{x^3}} over 6}P'left( 0 ight).)

Vì

                        (Pleft( 0 ight) = P'left( 0 ight) = P'left( 0 ight) = P'left( 0 ight) = 1)

Nên đa thức tìm là

                        (Pleft( x ight) = 1 + x + {{{x^2}} over 2} + {{{x^3}} over 6})

Sachbaitap.com