Câu 5.42 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

a) (f'left( x ight) = 0) biết (fleft( x ight) = {{m{x^4}} over 4} - left( {m + 2} ight){{{x^3}} over 3} + {{5{x^2}} over 2} - 3x + 1)

b) (fleft( x ight).f'left( x ight) = m) biết (fleft( x ight) = sqrt {{x^2} - 2x - 8} )

Giải

a) Với mọi (x in R), ta có

(eqalign{& f'left( x ight) = m{x^3} - left( {m + 2} ight){x^2} + 5x - 3  cr& f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow m{x^3} - left( {m + 2} ight){x^2} + 5x-3=0,,,left( 1 ight) cr} )

Thử thấy (x = 1) là một nghiệm, nên ta có thể viết (1) dưới dạng

(eqalign{& left( {x - 1} ight)left( {m{x^2} - 2x + 3} ight) = 0  cr&  Leftrightarrow left[ matrix{x=1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( {2a} ight) hfill cr m{x^2} - 2x + 3 = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( {2b} ight) hfill cr}  ight. cr} )

Ta hãy giải phương trình (2b). Xét hai trường hợp

( ullet ) Với (m = 0) thì (left( {2b} ight) Leftrightarrow x = {3 over 2})

( ullet ) Với (m e 0) thì

                        (left( {2b} ight) Leftrightarrow x = {{1 pm sqrt {1 - 3m} } over m}) (Với điều kiện (0 e m le {1 over 3}) )

Kết luận

+ Với (m > {1 over 3}), phương trình có nghiệm ({x_0} = 1)

+ Với (m = 0), phương trình có nghiệm  ({x_0} = 1) và ({x_1} = {3 over 2})

+ Với (0 e m le {1 over 3}), phương trình có các nghiệm là

                        ({x_0} = 1,{x_1} = {{1 - sqrt {1 - 3m} } over m}) và ({x_2} = {{1 + sqrt {1 - 3m} } over m})

b) Để hàm số đã cho cá đạo hàm thì ta phải có

                        ({x^2} - 2x - 8 > 0 Leftrightarrow x <  - 2) hoặc (x > 4.)

Với điều kiện (x <  - 2) hoặc (x > 4,) ta có

                        (f'left( x ight) = {{x - 1} over {sqrt {{x^2} - 2x - 8} }})

Phương trình

(eqalign{& fleft( x ight).f'left( x ight) = mcr& Leftrightarrow left{ matrix{x <  - 2 ext{ hoặc }x > 4 hfill cr{{x - 1} over {sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}.sqrt {{x^2} - 2x - 8}  = m hfill cr}  ight.cr& Leftrightarrow left{matrix{x <  - 2 ext{ hoặc }x > 4 hfill cr x - 1 = m hfill cr}  ight.  cr&  Leftrightarrow left[ matrix{left{ matrix{x = 1 + m hfill cr1 + m <  - 2 hfill cr}  ight. hfill crleft{ matrix{x = 1 + m hfill cr1 + m > 4 hfill cr}  ight. hfill cr}  ight.cr& Leftrightarrow left[ matrix{left{ matrix{x = 1 + m hfill cr m <  - 3 hfill cr}  ight. hfill crleft{ matrix{x = 1 + m hfill cr m > 3 hfill cr}  ight. hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{x = 1 + m hfill crleft| m ight| > 3 hfill cr}  ight. cr} )

Kết luận

+ Với (left| m ight| le 3) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với (left| m ight| > 3) thì phương trình đã cho có nghiệm là (x = 1 + m.)

Sachbaitap.com