Câu 4.7 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức ({z_0},{z_1}) khác 0 thảo mãn đẳng thức (z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}). Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác đều (O là gốc tọa độ).

Giải

Ta có:

(eqalign{& z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} Rightarrow {z_0}left( {{z_1} - {z_0}} ight) = z_1^2 cr&Rightarrow left| {{z_0}} ight|left| {{z_1} - {z_0}} ight| = {left| {{z_1}} ight|^2}  cr & z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} Rightarrow {z_1}left( {{z_0} - {z_1}} ight) = z_0^2 cr&Rightarrow left| {{z_1}} ight|left| {{z_1} - {z_0}} ight| = {left| {{z_0}} ight|^2} cr} )

Vậy   (left| {{z_1} - {z_0}} ight| = {{{{left| {{z_1}} ight|}^2}} over {left| {{z_0}} ight|}} = {{{{left| {{z_0}} ight|}^2}} over {left| {{z_1}} ight|}},) suy ra ({left| {{z_0}} ight|^3} = {left| {{z_1}} ight|^3})

Do đó (left| {{z_0}} ight| = left| {{z_1}} ight| = left| {{z_1} - {z_0}} ight|)  tức là OA = OB = AB (khác 0).

Vậy tam giác OAB là tam giác đều.

Sachbaitap.com